Allt om integraler

Integralen är derivatans omvända operation. Den används för allt som byggs upp av många små bidrag: area, sträcka, total kostnad och medelvärden. Här får du en samlad bild av integraler, från definition till tillämpningar, med fördjupning för den som vill gå vidare.

1. Integral som summa

Dela området under en kurva i många smala rektanglar. Summan av deras areor blir ett närmevärde till arean. När rektanglarna blir allt smalare närmar sig summan ett bestämt tal, integralen:

Här är $\displaystyle \Delta x$ bredden på varje rektangel och $\displaystyle f(x_i)$ dess höjd. Symbolen $\displaystyle \sum$ betyder "summan av".

2. Obestämd integral

3. Regler i Matematik 3

4. Bestämd integral

5. Tillämpningar

• Area: $\displaystyle A=\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ när $\displaystyle f(x)\ge0$.
• Medelvärde av en funktion: $\displaystyle \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.
• Sträcka: integralen av hastigheten över tiden.

6. Fördjupning: fler regler och metoder

• Ma4: $\displaystyle \displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$, $\displaystyle \displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ och $\displaystyle \displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$.
• Variabelsubstitution: $\displaystyle \displaystyle\int x\cos(x^2)\,dx=\frac{1}{2}\sin(x^2)+C$.
• Partiell integration: $\displaystyle \displaystyle\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x+C$.
• Rotationsvolym: $\displaystyle V=\pi\displaystyle\int_a^b\big(f(x)\big)^2\,dx$.

• Att glömma $\displaystyle C$ i en obestämd integral.
• Teckenfel med negativa exponenter.
• Att blanda ihop deriverings- och integrationsregler.
• Att räkna $\displaystyle F(a)-F(b)$ i stället för $\displaystyle F(b)-F(a)$.

1. Generaliserade integraler

En integral kan ha en oändlig gräns. Den definieras som ett gränsvärde:

2. Numerisk integration

Med trapetsmetoden ersätts rektanglarna med trapetser, som följer kurvan bättre:

3. Vidare studier

På universitetet används integraler i flera dimensioner, till exempel för volymer och flöden, och i Fourieranalys, där en signal delas upp i svängningar med olika frekvenser.

Uppgifter märkta med fördjupning kräver regler från Matematik 4 eller senare.

Uppgift 1: Obestämda integraler

1. $\displaystyle \displaystyle\int(3x^2-2x+5)\,dx$
2. $\displaystyle \displaystyle\int\frac{1}{x^2}\,dx$
3. $\displaystyle \displaystyle\int e^{2x}\,dx$
4. Fördjupning: $\displaystyle \displaystyle\int\sin(3x)\,dx$

Uppgift 2: Bestämda integraler

1. $\displaystyle \displaystyle\int_0^1x^3\,dx$
2. Fördjupning: $\displaystyle \displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx$
3. Fördjupning: $\displaystyle \displaystyle\int_1^e\frac{1}{x}\,dx$

Uppgift 3: Fördjupning, substitution

1. $\displaystyle \displaystyle\int x\sqrt{1-x^2}\,dx$
2. $\displaystyle \displaystyle\int\frac{e^x}{1+e^x}\,dx$

Uppgift 4: Fördjupning, partiell integration

1. $\displaystyle \displaystyle\int xe^x\,dx$
2. $\displaystyle \displaystyle\int\ln x\,dx$

Uppgift 5 till 8: Tillämpningar

5. Beräkna arean mellan $\displaystyle y=x^2$ och $\displaystyle y=x$ när $\displaystyle 0\le x\le1$.
6. Fördjupning: beräkna volymen när området under $\displaystyle y=\sqrt{x}$, $\displaystyle 0\le x\le4$, roterar kring x-axeln.
7. Fördjupning: bestäm $\displaystyle f$ om $\displaystyle f'(x)=2x+\sin x$ och $\displaystyle f(0)=3$.
8. Fördjupning: undersök $\displaystyle \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx$.

Uppgift 1

1. $\displaystyle x^3-x^2+5x+C$
2. $\displaystyle -\frac{1}{x}+C$, eftersom $\displaystyle x^{-2}$ ger $\displaystyle \frac{x^{-1}}{-1}$
3. $\displaystyle \frac{1}{2}e^{2x}+C$
4. $\displaystyle -\frac{1}{3}\cos(3x)+C$

Uppgift 2

1. $\displaystyle \frac{1}{4}$
2. $\displaystyle 1$
3. $\displaystyle \ln e-\ln1=1$

Uppgift 3

1. $\displaystyle -\frac{1}{3}(1-x^2)^{3/2}+C$
2. $\displaystyle \ln(1+e^x)+C$

Uppgift 4

1. $\displaystyle xe^x-e^x+C$
2. $\displaystyle x\ln x-x+C$

Uppgift 5 till 8

5. $\displaystyle \frac{1}{6}$ areaenheter
6. $\displaystyle \pi\displaystyle\int_0^4x\,dx=8\pi$ volymenheter
7. $\displaystyle f(x)=x^2-\cos x+4$
8. Integralen är 1.

Integraler bygger på att summera många små bidrag. Med primitiva funktioner och fundamentalsatsen beräknar du dem exakt. Kontrollera alltid genom att derivera och genom att tolka svaret i figuren.