Gymnasiet
Ma3b/Ma3c
Kapitel 2.2.1

Derivatan av polynomfunktioner

På den här sidan

Bakgrund

Ett polynom är en summa av termer av typen a⋅xn\displaystyle a\cdot x^n, där n\displaystyle n är ett naturligt tal. Med potensregeln kan du derivera alla polynom term för term. Derivatan visar sedan var grafen växer, avtar och har sina extrempunkter.

Teori

1. Grundläggande regler

  1. Konstant: D(c)=0\displaystyle D(c)=0.
  2. Potensregeln: D(xn)=nxn−1\displaystyle D(x^n)=nx^{n-1}.
  3. Konstant faktor: D(k⋅f(x))=k⋅f′(x)\displaystyle D(k\cdot f(x))=k\cdot f'(x).
  4. Summor och differenser deriveras term för term.

Varför fungerar potensregeln? För f(x)=x2\displaystyle f(x)=x^2 ger definitionen (x+h)2−x2h=2x+h\displaystyle \dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=2x+h, som går mot 2x\displaystyle 2x. Samma sorts uträkning fungerar för alla exponenter.

Exempel på potensregeln

  • D(x2)=2x\displaystyle D(x^2)=2x
  • D(x3)=3x2\displaystyle D(x^3)=3x^2
  • D(x)=D(x1)=1⋅x0=1\displaystyle D(x)=D(x^1)=1\cdot x^0=1
  • D(5x4)=5⋅4x3=20x3\displaystyle D(5x^4)=5\cdot4x^3=20x^3

2. Derivera ett polynom steg för steg

  1. Dela upp polynomet i termer.
  2. Derivera varje term med potensregeln. Koefficienten följer med.
  3. Konstanttermen blir 0.
  4. Skriv ihop resultatet.
f(x)=3x4−2x2+5x−7 ⇒ f′(x)=12x3−4x+5f(x)=3x^4-\nobreak 2x^2+\nobreak 5x-\nobreak 7\ \Rightarrow\ f'(x)=12x^3-\nobreak 4x+\nobreak 5

Derivatan av ett polynom av grad n\displaystyle n är ett polynom av grad n−1\displaystyle n-1.

3. Grafisk tolkning

  • f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0: funktionen växer.
  • f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0: funktionen avtar.
  • f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0: vågrät tangent, en möjlig extrempunkt.

4. Andraderivatan avgör typen av extrempunkt

Om f′(a)=0\displaystyle f'(a)=0 och f′′(a)<0\displaystyle f''(a)<0 är det en maximipunkt. Om f′′(a)>0\displaystyle f''(a)>0 är det en minimipunkt. Om f′′(a)=0\displaystyle f''(a)=0 behövs en teckentabell.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Derivera ett polynom

Uppgift: Derivera f(x)=2x5−3x3+4x−1\displaystyle f(x)=2x^5-3x^3+4x-1 och beräkna f′(−1)\displaystyle f'(-1).

Exempel 2: Extrempunkter med andraderivatan

Uppgift: Bestäm extrempunkterna till f(x)=x3−3x2−9x+5\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-9x+5 och avgör deras typ.

Exempel 3: Största vinst

Uppgift: Ett företags vinst är V(x)=−0,5x3+6x2\displaystyle V(x)=-0{,}5x^3+6x^2 tusen kronor när x\displaystyle x ton tillverkas, där 0≤x≤10\displaystyle 0\le x\le10. Hur mycket ska tillverkas för störst vinst?

Exempel 4: Närmevärde med tangenten

Uppgift: Använd tangenten till f(x)=x3+2x\displaystyle f(x)=x^3+2x i x=1\displaystyle x=1 för att uppskatta f(1,1)\displaystyle f(1{,}1).

Interaktiva funktioner

Potensregeln

Välj exponenten n\displaystyle n i f(x)=xn\displaystyle f(x)=x^n och en punkt x\displaystyle x.

Exponent: n=3\displaystyle n=3

Punkt: x=2\displaystyle x=2

D(x3)=3x2D(x^{3})=\nobreak 3x^{2}f′(2)=3⋅22=12f'(2)=3\cdot\nobreak 2^{2}=\nobreak 12

Polynomets tangent

Funktionen är f(x)=2x5−3x3+4x−1\displaystyle f(x)=2x^5-3x^3+4x-1 med f′(x)=10x4−9x2+4\displaystyle f'(x)=10x^4-9x^2+4.

Punkt: x=1\displaystyle x=1

f(1)=2,f′(1)=5f(1)=\nobreak 2,\quad\allowbreak f'(1)=\nobreak 5
Grafen och tangenten
Lodrät axel: y
−2−1012−10−50510

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 5.

  • Heldragen: f(x)=2x5−3x3+4x−1\displaystyle f(x)=2x^5-3x^3+4x-1
  • Streckad: Tangenten

Markerade punkter (ungefär):

  • Tangeringspunkt: (1; 2)

Var växer och avtar funktionen?

Funktionen är f(x)=x3−3x2−9x+5\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-9x+5.

Punkt: x=1\displaystyle x=1

f′(1)=−12f'(1)=\nobreak -\nobreak 12

Derivatan är negativ: funktionen avtar här.

Grafen med den valda punkten
Lodrät axel: y
−3−2−1012345−20−10010

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 10.

  • Heldragen: f(x)=x3−3x2−9x+5\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-9x+5

Markerade punkter (ungefär):

  • Vald punkt: (1; −6)

Vinst och produktion

Vinsten är V(x)=−0,5x3+6x2\displaystyle V(x)=-0{,}5x^3+6x^2 tusen kronor, där x\displaystyle x är antal ton.

Tillverkad mängd: x=5 ton\displaystyle x=5\ \text{ton}

V(5)=87,5,V′(5)=22,5V(5)=\nobreak 87{,}5,\quad\allowbreak V'(5)=\nobreak 22{,}5

Derivatan är positiv: vinsten ökar om produktionen ökar lite.

Vinsten som funktion av mängden
Lodrät axel: y
03568100255075100125

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 25.

  • Heldragen: V(x)=−0,5x3+6x2\displaystyle V(x)=-0{,}5x^3+6x^2

Markerade punkter (ungefär):

  • Vald mängd: (5; 87,5)
  • Maximum: (8; 128)

Närmevärde med tangenten

Tangenten till f(x)=x3+2x\displaystyle f(x)=x^3+2x i x=1\displaystyle x=1 är y=3+5(x−1)\displaystyle y=3+5(x-1).

Punkt: x=1,1\displaystyle x=1{,}1

tangenten: 3,5,exakt: 3,531\text{tangenten: }3{,}5,\quad\allowbreak \text{exakt: }3{,}531

Felet är 0,031\displaystyle 0{,}031.

Vanliga misstag

  • Att glömma att multiplicera med exponenten, till exempel D(x4)=x3\displaystyle D(x^4)=x^3. Rätt är 4x3\displaystyle 4x^3.
  • Att låta konstanttermen stå kvar.
  • Att tro att f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 alltid ger en extrempunkt. Det kan vara en terrasspunkt.
  • Att blanda ihop tecknen i andraderivatatestet: negativ andraderivata ger maximum.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra området

Viktigt att tänka på

  1. Öva potensregeln tills den går automatiskt.
  2. Koppla alltid derivatans tecken till grafens lutning.
  3. Kontrollera extrempunkter med andraderivatan eller en teckentabell.
  4. Använd parenteser när du sätter in negativa tal.

Testa dig själv1/3

Derivera f(x)=x4−6x2+3\displaystyle f(x)=x^4-6x^2+3.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Aktivera JavaScript för att använda formulär och interaktiva verktyg. Sidans innehåll och länkar kan läsas utan JavaScript.