Derivatan av exponentialfunktioner

Exponentialfunktioner beskriver förlopp som ändras med en viss procent per tidsenhet: befolkningstillväxt, ränta på ränta, radioaktivt sönderfall och hur ett läkemedel försvinner ur kroppen. Derivatan visar hur snabbt förändringen sker i varje ögonblick.

En exponentialfunktion har formen $\displaystyle f(x)=C\cdot a^x$, där basen $\displaystyle a$ är positiv och inte lika med 1. Variabeln står i exponenten.

1. Talet e

Det finns en bas där lutningen alltid är lika stor som funktionsvärdet. Den basen kallas $\displaystyle e$, och $\displaystyle e\approx2{,}718$.

Varför? Derivatans definition ger

Talet $\displaystyle e$ är just det tal som gör att $\displaystyle \dfrac{e^h-1}{h}$ går mot 1 när $\displaystyle h$ går mot 0.

2. Derivatan av e upphöjt till kx

Konstanten $\displaystyle k$ i exponenten kommer ned som en faktor. Om $\displaystyle k>0$ växer funktionen, om $\displaystyle k<0$ avtar den.

3. Derivatan av a upphöjt till x

Varje positiv bas kan skrivas som en potens av $\displaystyle e$: $\displaystyle a=e^{\ln a}$, där $\displaystyle \ln a$ är den naturliga logaritmen. Då är $\displaystyle a^x=e^{x\ln a}$, och regeln ovan med $\displaystyle k=\ln a$ ger

4. Funktion och derivata i samma bild

För $\displaystyle e^x$ sammanfaller grafen och derivatans graf. För $\displaystyle 2^x$ ligger derivatans graf lägre, eftersom $\displaystyle \ln2\approx0{,}69$ är mindre än 1.

• Att använda potensregeln på exponentialfunktioner, till exempel $\displaystyle D(2^x)=x\cdot2^{x-1}$. Det är fel.
• Att glömma faktorn $\displaystyle k$ när $\displaystyle e^{kx}$ deriveras.
• Att glömma faktorn $\displaystyle \ln a$ när basen inte är $\displaystyle e$.
• Att avrunda $\displaystyle e$ för tidigt. Räkna exakt och avrunda bara slutsvaret.

Funktioner som uppfyller y' = ky

Funktionen $\displaystyle y=y_0e^{kx}$ uppfyller $\displaystyle y'=ky$ och $\displaystyle y(0)=y_0$. Kontroll: $\displaystyle y'=y_0\cdot ke^{kx}=k\cdot y$. Till exempel uppfyller $\displaystyle y=2e^{3x}$ villkoren $\displaystyle y'=3y$ och $\displaystyle y(0)=2$. Sådana ekvationer kallas differentialekvationer och behandlas i Matematik 5.

Implicit derivering (Ma4 och vidare)

Om $\displaystyle y+e^y=x^2$ ger derivering av båda leden $\displaystyle y'+e^y\cdot y'=2x$, alltså

Snabbast tillväxt

I modellen $\displaystyle N(t)=1000e^{0{,}5t}$ är $\displaystyle N'(t)=500e^{0{,}5t}$, som hela tiden ökar. Populationen växer därför snabbast i slutet av det studerade tidsintervallet.

Derivatan av $\displaystyle e^x$ är $\displaystyle e^x$, derivatan av $\displaystyle e^{kx}$ är $\displaystyle ke^{kx}$ och derivatan av $\displaystyle a^x$ är $\displaystyle a^x\ln a$. Med dessa regler kan du beskriva hur snabbt tillväxt och sönderfall sker.