Derivering med digitala verktyg

Lösning

1. Steg 1. Derivera term för term med potensregeln.

   $$f'(x)=3\cdot\nobreak 3x^2-\nobreak 2\cdot\nobreak 2x+\nobreak 5=9x^2-\nobreak 4x+\nobreak 5$$

2. Steg 2. Beräkna derivatan i $\displaystyle x=1$.

   $$f'(1)=\nobreak 9-\nobreak 4+\nobreak 5=\nobreak 10$$

3. Steg 3. Jämför med en centraldifferens med $\displaystyle h=0{,}001$. Den ger ett tal mycket nära 10.

   $$\dfrac{f(1{,}001)-\nobreak f(0{,}999)}{0{,}002}\approx10{,}000003$$

Svar: Verktygets svar stämmer: $\displaystyle f'(x)=9x^2-4x+5$.

Lösning

1. Steg 1. Derivera och faktorisera.

   $$f'(x)=\nobreak 3x^2-\nobreak 6x=\nobreak 3x(x-\nobreak 2)$$

2. Steg 2. Derivatan är 0 när $\displaystyle x=0$ eller $\displaystyle x=2$. Grafen till $\displaystyle f'$ är en parabel som skär x-axeln där.

3. Steg 3. Teckenstudie: $\displaystyle f'(x)>0$ när $\displaystyle x<0$ eller $\displaystyle x>2$, och $\displaystyle f'(x)<0$ när $\displaystyle 0<x<2$.

4. Steg 4. Beräkna funktionsvärdena i de kritiska punkterna.

   $$f(0)=\nobreak 2,\quad\allowbreak f(2)=\nobreak 8-\nobreak 12+\nobreak 2=\nobreak -\nobreak 2$$

Svar: Funktionen växer när $\displaystyle x\le0$ och $\displaystyle x\ge2$ och avtar när $\displaystyle 0\le x\le2$. Maximipunkt $\displaystyle (0;\ 2)$ och minimipunkt $\displaystyle (2;\ -2)$.

Lösning

1. Steg 1. Ställ upp volymen. Måtten måste vara positiva, så $\displaystyle 0<x<15$.

   $$V(x)=x(40-\nobreak 2x)(30-\nobreak 2x)$$

2. Steg 2. Låt verktyget derivera och lösa $\displaystyle V'(x)=0$.

   $$V'(x)=12x^2-\nobreak 280x+\nobreak 1200=\nobreak 0$$

3. Steg 3. Verktyget ger $\displaystyle x\approx5{,}66$ och $\displaystyle x\approx17{,}68$. Bara den första lösningen ligger i intervallet.

4. Steg 4. Beräkna volymen.

   $$V(5{,}66)\approx\nobreak 3032$$

Svar: Största volymen är ungefär $\displaystyle 3030\ \text{cm}^3$, när $\displaystyle x\approx5{,}66\ \text{cm}$.

Lösning

1. Steg 1. Kedjeregeln på $\displaystyle \sin(x^2)$ och derivatan av $\displaystyle \cos x$.

   $$g'(x)=2x\cos(x^2)-\nobreak \sin x$$

2. Steg 2. Produktregeln på $\displaystyle h(x)$ och kedjeregeln på båda faktorerna.

   $$h'(x)=e^{\sin x}\cos x\cdot\nobreak \ln(x^2+1)+\dfrac{2x\,e^{\sin x}}{x^2+\nobreak 1}$$

Svar: Sådana uttryck är lätta att räkna fel på för hand. Här gör ett verktyg stor nytta, och du kan kontrollera svaret numeriskt i den interaktiva delen.

Lösning

1. Steg 1. Derivera båda leden med avseende på $\displaystyle x$. Eftersom $\displaystyle y$ beror på $\displaystyle x$ ger kedjeregeln faktorn $\displaystyle y'$.

   $$3x^2+\nobreak 3y^2y'=\nobreak 6y+\nobreak 6xy'$$

2. Steg 2. Samla termerna med $\displaystyle y'$ och lös ut.

   $$y'=\dfrac{3x^2-\nobreak 6y}{6x-\nobreak 3y^2}$$

Svar: $\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3x^2-6y}{6x-3y^2}$