Areasatsen

Lösning

1. Steg 1. Sätt in i areasatsen.

   $$T=\dfrac{5\cdot\nobreak 8\cdot\nobreak \sin40^\circ}{2}=20\sin40^\circ$$

2. Steg 2. Beräkna med räknaren i gradläge.

   $$T\approx20\cdot\nobreak 0{,}6428\approx\nobreak 12{,}9$$

Svar: Arean är ungefär $\displaystyle 12{,}9\text{ cm}^2$.

Lösning

1. Steg 1. Areasatsen gäller även för trubbiga vinklar.

   $$T=\dfrac{6\cdot\nobreak 10\cdot\nobreak \sin130^\circ}{2}=30\sin130^\circ$$

2. Steg 2. Sinus är positiv i andra kvadranten, och $\displaystyle \sin130^\circ=\sin50^\circ$.

   $$T\approx30\cdot\nobreak 0{,}7660\approx\nobreak 23{,}0$$

Svar: Arean är ungefär $\displaystyle 23{,}0\text{ m}^2$.

Lösning

1. Steg 1. Lös ut $\displaystyle \sin C$ ur areasatsen. Multiplicera med 2 och dividera med $\displaystyle ab$.

   $$\sin C=\dfrac{2T}{ab}=\dfrac{2\cdot\nobreak 15}{6\cdot\nobreak 7}=\dfrac{30}{42}\approx\nobreak 0{,}7143$$

2. Steg 2. Både en spetsig och en trubbig vinkel har detta sinusvärde.

   $$C_1\approx45{,}6^\circ,\quad\allowbreak C_2\approx180^\circ-\nobreak 45{,}6^\circ=134{,}4^\circ$$

Svar: $\displaystyle C\approx45{,}6^\circ$ eller $\displaystyle C\approx134{,}4^\circ$. Båda trianglarna har arean $\displaystyle 15\text{ cm}^2$.

Lösning

1. Steg 1. Lös ut $\displaystyle a$ ur areasatsen.

   $$a=\dfrac{2T}{b\sin C}$$

2. Steg 2. Sätt in värdena. Exakt gäller $\displaystyle \sin30^\circ=\frac{1}{2}$.

   $$a=\dfrac{2\cdot\nobreak 20}{8\cdot\nobreak 0{,}5}=\dfrac{40}{4}=\nobreak 10$$

Svar: Sidan a är 10 cm.

Lösning

1. Steg 1. En diagonal delar parallellogrammen i två likadana trianglar med sidorna 6 och 4 och vinkeln $\displaystyle 60^\circ$ mellan dem.

2. Steg 2. Arean är två gånger triangelns area, så tvåan i nämnaren tar ut sig.

   $$A=2\cdot\nobreak \dfrac{6\cdot\nobreak 4\cdot\nobreak \sin60^\circ}{2}=24\cdot\nobreak \dfrac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}\approx\nobreak 20{,}8$$

Svar: Arean är $\displaystyle 12\sqrt{3}\approx20{,}8\text{ cm}^2$.