Kapitel 5.1: Mer om enhetscirkeln (Ma3c) | Matematik 3

Bakgrund

I en rätvinklig triangel kan en vinkel bara vara mellan $\displaystyle 0^\circ$ och $\displaystyle 90^\circ$ . Med enhetscirkeln får sinus, cosinus och tangens ett värde för alla vinklar, till exempel $\displaystyle 150^\circ$ eller $\displaystyle 300^\circ$ . Det behövs när du löser trigonometriska ekvationer och när du räknar med trubbiga vinklar i trianglar.

Teori

Definitionen

Enhetscirkeln har medelpunkt i origo och radien 1. Vinkeln $\displaystyle v$ mäts moturs från positiva x-axeln. Där vinkelns ben skär cirkeln ligger punkten $\displaystyle P$ , och dess koordinater definierar cosinus och sinus:

P=\nobreak (\cos v;\ \sin v),\qquad\allowbreak \tan v=\dfrac{\sin v}{\cos v}\ \ (\cos v\neq\nobreak 0)

Cosinus är alltså punktens x-koordinat och sinus dess y-koordinat. Tangens är lutningen hos radien $\displaystyle OP$ . För spetsiga vinklar ger detta samma värden som i den rätvinkliga triangeln, eftersom hypotenusan då är radien 1.

Enhetscirkeln: radien är 1

Lodrät axel: yVågrät axel: x

-101-11

Vinkeln mäts moturs från positiva x-axeln. Den heldragna radien slutar i P. De streckade linjerna visar punktens koordinater.

$\displaystyle \theta=150^\circ$

$\displaystyle x=\cos\theta\approx−0{,}866$

$\displaystyle y=\sin\theta\approx0{,}5$

Figuren visar vinkeln $\displaystyle 150^\circ$ . Punkten ligger till vänster om y-axeln, så cosinus är negativ, men ovanför x-axeln, så sinus är positiv.

Tecken i de fyra kvadranterna

Kvadrant	Vinklar	sin	cos	tan
Första	$\displaystyle 0^\circ<v<90^\circ$	positiv	positiv	positiv
Andra	$\displaystyle 90^\circ<v<180^\circ$	positiv	negativ	negativ
Tredje	$\displaystyle 180^\circ<v<270^\circ$	negativ	negativ	positiv
Fjärde	$\displaystyle 270^\circ<v<360^\circ$	negativ	positiv	negativ

Symmetrier

Speglingar av punkten $\displaystyle P$ ger samband mellan vinklar. Spegling i y-axeln behåller y-koordinaten, och spegling i x-axeln behåller x-koordinaten:

\sin(180^\circ-\nobreak v)=\nobreak \sin v,\quad\allowbreak \cos(180^\circ-\nobreak v)=\nobreak -\nobreak \cos v

\sin(-\nobreak v)=\nobreak -\nobreak \sin v,\quad\allowbreak \cos(-\nobreak v)=\nobreak \cos v

Ett helt varv för tillbaka punkten till samma läge, så $\displaystyle \sin(v+360^\circ)=\sin v$ och $\displaystyle \cos(v+360^\circ)=\cos v$ .

Trigonometriska ettan

Punkten $\displaystyle P$ ligger på cirkeln $\displaystyle x^2+y^2=1$ . Sätt in $\displaystyle x=\cos v$ och $\displaystyle y=\sin v$ :

\sin^2v+\nobreak \cos^2v=\nobreak 1

Här betyder $\displaystyle \sin^2v$ samma sak som $\displaystyle (\sin v)^2$ . Sambandet gör att du kan räkna ut cosinus när du vet sinus, och tvärtom. Kvadranten avgör tecknet.

Exakta värden

Vinkel	sin	cos	tan
$\displaystyle 0^\circ$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 30^\circ$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\displaystyle 45^\circ$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle 60^\circ$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \sqrt{3}$
$\displaystyle 90^\circ$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 0$	ej definierad

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Exakta värden i tredje kvadranten

Uppgift: Bestäm exakt $\displaystyle \cos210^\circ$ och $\displaystyle \sin210^\circ$ .

Exempel 2: Cosinus och tangens med trigonometriska ettan

Uppgift: Vinkeln $\displaystyle v$ ligger i andra kvadranten och $\displaystyle \sin v=0{,}6$ . Bestäm $\displaystyle \cos v$ och $\displaystyle \tan v$ .

Exempel 3: Två vinklar med samma cosinusvärde

Uppgift: Bestäm alla vinklar $\displaystyle v$ mellan $\displaystyle 0^\circ$ och $\displaystyle 360^\circ$ där $\displaystyle \cos v=-\frac{1}{2}$ .

Exempel 4: Förenkla med symmetrier

Uppgift: Förenkla uttrycket $\displaystyle \sin(180^\circ-v)+\sin(-v)$ .

Interaktiva funktioner

Utforska enhetscirkeln

Dra i reglaget. I figuren betecknas vinkeln med $\displaystyle \theta$ , i texten med $\displaystyle v$ .

Vinkel: $\displaystyle v=150^\circ$

Enhetscirkeln: radien är 1

Lodrät axel: yVågrät axel: x

-101-11

Vinkeln mäts moturs från positiva x-axeln. Den heldragna radien slutar i P. De streckade linjerna visar punktens koordinater.

$\displaystyle \theta=150^\circ$

$\displaystyle x=\cos\theta\approx−0{,}866$

$\displaystyle y=\sin\theta\approx0{,}5$

$\displaystyle \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\approx−0{,}577$

Andra kvadranten: x är negativ och y positiv. Sinus är positiv, cosinus och tangens negativa.

\sin(180^\circ-\nobreak 150^\circ)=\sin150^\circ\approx\nobreak 0{,}5

\cos(360^\circ-\nobreak 150^\circ)=\cos150^\circ\approx\nobreak -\nobreak 0{,}866

\sin^2150^\circ+\nobreak \cos^2150^\circ\approx0{,}25+\nobreak 0{,}75=\nobreak 1

Vanliga misstag

Att glömma tecknet när trigonometriska ettan används. Roten ur ger två värden, och kvadranten bestämmer vilket som gäller.
Att blanda ihop vilken koordinat som är vad. Cosinus är x-koordinaten och sinus är y-koordinaten.
Att tro att $\displaystyle \sin^2v$ betyder $\displaystyle \sin(v^2)$ . Det betyder $\displaystyle (\sin v)^2$ .
Att räkna med tangens när cosinus är 0, till exempel vid $\displaystyle 90^\circ$ och $\displaystyle 270^\circ$ .

Vanliga frågor

Tips för att bemästra enhetscirkeln

Viktigt att tänka på

Skissa enhetscirkeln och markera punkten innan du räknar.
Hitta referensvinkeln mellan $\displaystyle 0^\circ$ och $\displaystyle 90^\circ$ och bestäm sedan tecknet med kvadranten.
Kontrollera svar med trigonometriska ettan.

Testa dig själv: Enhetscirkeln1/3

Vilket tecken har $\displaystyle \tan200^\circ$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i trigonometri för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här