Tillämpning och problemlösning

Lösning

1. Steg 1. Titta på triangeln $\displaystyle ABT$. Vinkeln vid $\displaystyle B$ inne i triangeln är sidovinkel till $\displaystyle 50^\circ$. Vinkelsumman ger vinkeln vid toppen.

   $$B=180^\circ-\nobreak 50^\circ=130^\circ,\quad\allowbreak T=180^\circ-\nobreak 30^\circ-\nobreak 130^\circ=\nobreak 20^\circ$$

2. Steg 2. Sinussatsen ger sträckan $\displaystyle BT$, som ligger mittemot vinkeln vid $\displaystyle A$.

   $$BT=\dfrac{40\cdot\nobreak \sin30^\circ}{\sin20^\circ}\approx\nobreak 58{,}48\text{ m}$$

3. Steg 3. I den rätvinkliga triangeln från $\displaystyle B$ till tornet är $\displaystyle BT$ hypotenusa och höjden $\displaystyle h$ motstående katet till $\displaystyle 50^\circ$.

   $$h=BT\cdot\nobreak \sin50^\circ\approx58{,}48\cdot\nobreak 0{,}766\approx\nobreak 44{,}8\text{ m}$$

Svar: Tornet är ungefär 45 m högt över ögonhöjd.

Lösning

1. Steg 1. Vid vändpunkten svänger båten $\displaystyle 60^\circ$ åt höger. Vinkeln inne i triangeln är sidovinkeln.

   $$V=180^\circ-\nobreak 60^\circ=120^\circ$$

2. Steg 2. Cosinussatsen ger avståndet $\displaystyle d$ från starten.

   $$d^2=10^2+15^2-2\cdot\nobreak 10\cdot\nobreak 15\cdot\nobreak \cos120^\circ=100+\nobreak 225+\nobreak 150=\nobreak 475$$

3. Steg 3. Dra roten ur.

   $$d=\sqrt{475}\approx\nobreak 21{,}8\text{ km}$$

4. Steg 4. Vinkeln $\displaystyle \alpha$ vid starten, mellan norr och siktlinjen mot båten, fås med sinussatsen. Den är spetsig eftersom den inte ligger mittemot den längsta sidan.

   $$\sin\alpha=\dfrac{15\cdot\nobreak \sin120^\circ}{\sqrt{475}}\approx\nobreak 0{,}596\ \Rightarrow\ \alpha\approx36{,}6^\circ$$

Svar: Båten är ungefär 21,8 km från starten i riktningen $\displaystyle 36{,}6^\circ$ öster om norr.

Lösning

1. Steg 1. Arean ges direkt av areasatsen.

   $$T=\dfrac{20\cdot\nobreak 30\cdot\nobreak \sin45^\circ}{2}=300\sin45^\circ\approx\nobreak 212\text{ m}^2$$

2. Steg 2. Den tredje sidan $\displaystyle c$ fås med cosinussatsen.

   $$c^2=20^2+30^2-2\cdot\nobreak 20\cdot\nobreak 30\cdot\nobreak \cos45^\circ\approx\nobreak 451{,}5$$

3. Steg 3. Dra roten ur och lägg ihop alla sidor.

   $$c\approx\nobreak 21{,}2\text{ m},\quad\allowbreak 20+\nobreak 30+\nobreak 21{,}2=\nobreak 71{,}2\text{ m}$$

Svar: Arean är ungefär $\displaystyle 212\text{ m}^2$, och det behövs ungefär 71 m staket.

Lösning

1. Steg 1. Stegen, väggen och marken bildar en rätvinklig triangel med stegen som hypotenusa. Höjden är motstående katet.

   $$h=5\sin70^\circ\approx\nobreak 4{,}70\text{ m}$$

2. Steg 2. Avståndet till väggen är närliggande katet.

   $$x=5\cos70^\circ\approx\nobreak 1{,}71\text{ m}$$

Svar: Stegen når ungefär 4,7 m upp och står ungefär 1,7 m från väggen.