Kapitel 1.1: Algebra och polynom | Matematik 3

Bakgrund

Algebra och polynom utgör en central del av matematiken i gymnasiets högre kurser. De är grundläggande för att förstå avancerade matematiska idéer och har praktiska tillämpningar inom flera områden.

Teori

1. Grundläggande algebraiska begrepp

Variabel: symbol som representerar ett okänt tal.
Konstant: fast numeriskt värde i ett uttryck.
Term: del av ett uttryck, till exempel en konstant, en variabel eller en produkt.
Koefficient: numerisk faktor i en term med variabel.

2. Definition av polynom

Ett polynom är en summa av termer där variabler upphöjs till icke-negativa heltalspotenser.

P(x)=a_nx^n+a_{n-\nobreak 1}x^{n-\nobreak 1}+\cdots+a_1x+a_0

Här är $\displaystyle a_n,\ldots,a_0$ koefficienter och $\displaystyle n$ polynomets grad.

3. Grad av polynom

Graden är den högsta exponenten på variabeln:

$\displaystyle 3x^2+2x+1$ har grad 2.
$\displaystyle 5x^3-2x+7$ har grad 3.
$\displaystyle 4x^4+3x^2-x+2$ har grad 4.

4. Operationer med polynom

4.1 Addition och subtraktion

Kombinera termer med samma grad.

\begin{aligned}P(x)&=3x^2+\nobreak 2x-\nobreak 1\\Q(x)&=\nobreak 2x^2-\nobreak x+\nobreak 3\end{aligned}

Vid subtraktion byter alla termer i $\displaystyle Q(x)$ tecken, eftersom hela polynomet dras bort: $\displaystyle -(2x^2-x+3)=-2x^2+x-3$ .

\begin{aligned}P(x)+\nobreak Q(x)&=\nobreak 5x^2+\nobreak x+\nobreak 2\\P(x)-\nobreak Q(x)&=\nobreak x^2+\nobreak 3x-\nobreak 4\end{aligned}

4.2 Multiplikation

Multiplicera varje term i den första parentesen med varje term i den andra (distributiva lagen). Samla sedan termer av samma grad.

\begin{aligned}&(2x+\nobreak 1)(x-\nobreak 3)\\&=2x\cdot\nobreak x-2x\cdot\nobreak 3+1\cdot\nobreak x-1\cdot\nobreak 3\\&=2x^2-\nobreak 6x+\nobreak x-\nobreak 3\\&=2x^2-\nobreak 5x-\nobreak 3\end{aligned}

4.3 Division

Polynomdivision görs med liggande stolen (långdivision) på samma sätt som division av tal. Om resten blir 0 är divisorn en faktor i polynomet.

5. Faktorisering av polynom

5.1 Största gemensamma faktor

6x^2+\nobreak 12x=\nobreak 6x(x+\nobreak 2)

5.2 Gruppering

\begin{aligned}&x^3+\nobreak x^2+\nobreak 2x+\nobreak 2\\&=x^2(x+\nobreak 1)+\nobreak 2(x+\nobreak 1)\\&=(x^2+2)(x+1)\end{aligned}

5.3 Kvadratkomplettering

Lägg till och dra ifrån kvadraten på halva x-koefficienten, här $\displaystyle \left(\frac{6}{2}\right)^2=9$ . Då bildas en jämn kvadrat enligt kvadreringsregeln.

\begin{aligned}&x^2+\nobreak 6x+\nobreak 5\\&=(x^2+\nobreak 6x+\nobreak 9)-\nobreak 9+\nobreak 5\\&=(x+\nobreak 3)^2-\nobreak 4\end{aligned}

6. Nollställen till polynom

Nollställen är de värden på $\displaystyle x$ som ger $\displaystyle P(x)=0$ .

6.1 Kvadratiska ekvationer

För $\displaystyle ax^2+bx+c=0$ med $\displaystyle a\neq0$ gäller lösningsformeln:

x=\dfrac{-\nobreak b\pm\nobreak \sqrt{b^2-\nobreak 4ac}}{2a}

6.2 Faktorsatsen

Om $\displaystyle P(k)=0$ , alltså om $\displaystyle k$ är ett nollställe, så är $\displaystyle (x-k)$ en faktor i $\displaystyle P(x)$ . Det gäller också omvänt.

6.3 Rationella rötter (fördjupning)

Om polynomet har heltalskoefficienter och $\displaystyle \dfrac{p}{q}$ är ett rationellt nollställe i förkortad form, så delar $\displaystyle p$ konstanttermen och $\displaystyle q$ den ledande koefficienten. Har den ledande koefficienten värdet 1 räcker det alltså att pröva delarna till konstanttermen.

7. Polynomekvationer av högre grad

Faktorisering, till exempel genom att bryta ut gemensamma faktorer eller gruppera termer.
Faktorsatsen: hitta ett nollställe genom att pröva, och dividera sedan bort motsvarande faktor.
Substitution, till exempel $\displaystyle u=x^2$ i ekvationer med bara jämna potenser.
Grafiska och numeriska metoder, till exempel digitala verktyg, när exakta lösningar är svåra att hitta.

8. Polynom och funktioner

8.1 Skärning med y-axeln

Grafen skär y-axeln i punkten $\displaystyle (0;\ P(0))$ . Värdet $\displaystyle P(0)$ är konstanttermen, eftersom alla andra termer blir 0 när $\displaystyle x=0$ .

8.2 Skärningar med x-axeln

Grafen skär x-axeln vid polynomets reella nollställen.

8.3 Symmetri

Ett polynom med bara jämna potenser av $\displaystyle x$ (till exempel $\displaystyle x^4-5x^2+4$ ) är symmetriskt kring y-axeln, eftersom $\displaystyle P(-x)=P(x)$ . Varje tredjegradsfunktion är punktsymmetrisk kring sin inflexionspunkt, den punkt där grafen byter krökning.

8.4 Ändbeteende

För stora värden på $\displaystyle |x|$ dominerar termen med högst grad. Den styr hur grafen beter sig långt ut åt höger och vänster.

Interaktivt polynomlabb

Operationer med polynom

Ändra koefficienterna i $\displaystyle P(x)$ och $\displaystyle Q(x)$ . Summan, differensen och produkten uppdateras direkt.

P(x)=3x^{2}+\nobreak 2x-\nobreak 1

Koefficient för $\displaystyle x^2$ : $\displaystyle a_2=3$

Koefficient för x: $\displaystyle a_1=2$

Konstantterm: $\displaystyle a_0=-1$

Q(x)=2x^{2}-\nobreak x+\nobreak 3

Koefficient för $\displaystyle x^2$ : $\displaystyle b_2=2$

Koefficient för x: $\displaystyle b_1=-1$

Konstantterm: $\displaystyle b_0=3$

Addera eller subtrahera koefficienterna för samma potens av $\displaystyle x$ :

P(x)+\nobreak Q(x)=5x^{2}+\nobreak x+\nobreak 2

P(x)-\nobreak Q(x)=x^{2}+\nobreak 3x-\nobreak 4

Vid multiplikation multipliceras varje term i $\displaystyle P$ med varje term i $\displaystyle Q$ . Exponenterna adderas, så två andragradspolynom ger högst grad 4:

P(x)\cdot\nobreak Q(x)=6x^{4}+\nobreak x^{3}+\nobreak 5x^{2}+\nobreak 7x-\nobreak 3

Nollställen med faktorsatsen

Undersök om 1, 2 eller 3 är nollställen till $\displaystyle P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ .

Koefficient

\displaystyle a

Koefficient

\displaystyle b

Koefficient

\displaystyle c

Koefficient

\displaystyle d

P(x)=x^{3}-\nobreak 6x^{2}+\nobreak 11x-\nobreak 6

Sätt in varje tal $\displaystyle k$ i stället för $\displaystyle x$ . Blir värdet 0 är $\displaystyle (x-k)$ en faktor.

P(1)=\nobreak 0\ \Rightarrow\ (x-\nobreak 1)\ \text{är en faktor}

P(2)=\nobreak 0\ \Rightarrow\ (x-\nobreak 2)\ \text{är en faktor}

P(3)=\nobreak 0\ \Rightarrow\ (x-\nobreak 3)\ \text{är en faktor}

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Faktorisering och nollställen

Uppgift: Faktorisera $\displaystyle P(x)=x^3-6x^2+11x-6$ fullständigt och bestäm polynomets nollställen.

Exempel 2: Ekvation av fjärde graden

Uppgift: Lös ekvationen $\displaystyle x^4-5x^2+4=0$ .

Exempel 3: Polynomfunktion och graf

Uppgift: Bestäm grad, skärning med y-axeln, nollställen och ändbeteende för $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-4x+12$ . Jämför med grafen.

Lösning

Steg 1. Den högsta exponenten är 3, så funktionen har grad 3. Skärningen med y-axeln är konstanttermen.
$f(0)=\nobreak 12$
Steg 2. Faktorisera genom gruppering: bryt ut $\displaystyle x^2$ ur de två första termerna och $\displaystyle -4$ ur de två sista. Använd sedan konjugatregeln på $\displaystyle x^2-4$ .
$\begin{aligned}&x^2(x-\nobreak 3)-\nobreak 4(x-\nobreak 3)\\&=(x^2-\nobreak 4)(x-\nobreak 3)\\&=(x+2)(x-2)(x-3)\end{aligned}$
Steg 3. Nollproduktmetoden ger nollställena.
$x=\nobreak -\nobreak 2,\quad\allowbreak x=\nobreak 2,\quad\allowbreak x=\nobreak 3$
Steg 4. Termen $\displaystyle x^3$ dominerar för stora $\displaystyle |x|$ , och den har positiv koefficient.
$\begin{aligned}x\to\nobreak +\nobreak \infty\ &\Rightarrow\ f(x)\to\nobreak +\nobreak \infty\\x\to\nobreak -\nobreak \infty\ &\Rightarrow\ f(x)\to\nobreak -\nobreak \infty\end{aligned}$
Steg 5. Grafen visar också en topp nära $\displaystyle x\approx-0{,}53$ och en dal nära $\displaystyle x\approx2{,}53$ . Dessa beräknas exakt med derivata, som du lär dig i kapitel 2.

Svar: Grad 3, skärning med y-axeln i $\displaystyle (0;\ 12)$ och nollställen $\displaystyle x=-2$ , $\displaystyle x=2$ och $\displaystyle x=3$ . Grafen kommer underifrån till vänster och fortsätter uppåt till höger.

Grafen till funktionen f

Lodrät axel: y

−3−2−101234−5051015

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 5.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-4x+12$

Markerade punkter (ungefär):

Nollställe: (−2; 0)
Nollställe: (2; 0)
Nollställe: (3; 0)
Skärning med y-axeln: (0; 12)
Lokal maximipunkt: (−0,5275; 13,1285)
Lokal minimipunkt: (2,5275; −1,1285)

Vanliga misstag

Glömma att polynom endast har icke-negativa heltalspotenser.
Förväxla polynomets grad med antal termer.
Teckenfel vid addition/subtraktion av polynom.
Förväxla nollställen med y-skärning.
Tro att grad $\displaystyle n$ alltid ger exakt $\displaystyle n$ reella nollställen.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra algebra och polynom

Studietips

Visualisera polynom med grafer och koppla koefficienter till formförändringar.
Börja ofta med faktorisering för att förenkla problemet.
Utnyttja symmetri, ändbeteende och teckenstudier vid analys.
Träna stegvis: linjärt och kvadratiskt först, sedan högre grad.
Koppla algebraiska steg till geometri och funktionstolkning.

Testa dig själv

Testa dig själv: Algebra och polynom1/3

Vilket uttryck är ett polynom?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Bakgrund

Teori

1. Grundläggande algebraiska begrepp

2. Definition av polynom

3. Grad av polynom

4. Operationer med polynom

4.1 Addition och subtraktion

4.2 Multiplikation

4.3 Division

5. Faktorisering av polynom

5.1 Största gemensamma faktor

5.2 Gruppering

5.3 Kvadratkomplettering

6. Nollställen till polynom

6.1 Kvadratiska ekvationer

6.2 Faktorsatsen

6.3 Rationella rötter (fördjupning)

7. Polynomekvationer av högre grad

8. Polynom och funktioner

8.1 Skärning med y-axeln

8.2 Skärningar med x-axeln

8.3 Symmetri

8.4 Ändbeteende

Interaktivt polynomlabb

Operationer med polynom

Nollställen med faktorsatsen

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Faktorisering och nollställen

Exempel 2: Ekvation av fjärde graden

Exempel 3: Polynomfunktion och graf

Vanliga misstag

Vanliga frågor

Vad är skillnaden mellan polynom och polynomfunktion?

Kan ett polynom ha oändligt många nollställen?

Hur påverkar koefficienterna grafen?

Vad är sambandet mellan faktorer och nollställen?

Hur avgör man om ett polynom är delbart med ett annat?

Tips för att bemästra algebra och polynom

Studietips

Testa dig själv

Testa dig själv: Algebra och polynom1/3

Testa att du förstått