Kapitel 4.1: Allt om geometrisk summa | Matematik 3

Bakgrund

En geometrisk summa uppstår när man lägger ihop tal som växer eller minskar med samma faktor varje gång. Det gäller till exempel sparande med ränta, befolkningstillväxt och en boll som studsar allt lägre. Med en formel kan summan beräknas snabbt, även när den har många termer.

Teori

1. Geometrisk talföljd

a,\ \allowbreak ak,\ \allowbreak ak^2,\ \allowbreak ak^3,\ \allowbreak \ldots,\ \allowbreak ak^{n-\nobreak 1}

$\displaystyle a$ är första termen.
$\displaystyle k$ är kvoten, alltså talet man multiplicerar med för att få nästa term.
$\displaystyle n$ är antalet termer. Den sista termen är $\displaystyle ak^{n-1}$ .

2. Summaformeln

S_n=\dfrac{a(k^n-\nobreak 1)}{k-\nobreak 1},\quad\allowbreak k\neq\nobreak 1

Om $\displaystyle k=1$ är alla termer lika, och då är $\displaystyle S_n=n\cdot a$ .

3. Varför stämmer formeln?

Skriv summan och multiplicera den med $\displaystyle k$ :

S_n=a+\nobreak ak+\nobreak ak^2+\nobreak \ldots+\nobreak ak^{n-\nobreak 1}

k\cdot\nobreak S_n=ak+\nobreak ak^2+\nobreak \ldots+\nobreak ak^{n-\nobreak 1}+\nobreak ak^n

Subtrahera den första raden från den andra. Nästan alla termer tar ut varandra:

kS_n-\nobreak S_n=\nobreak ak^n-\nobreak a\ \Leftrightarrow\ S_n(k-\nobreak 1)=\nobreak a(k^n-\nobreak 1)

Dela med $\displaystyle k-1$ , så får du formeln.

4. Oändlig geometrisk summa

Om $\displaystyle -1<k<1$ går $\displaystyle k^n$ mot 0 när $\displaystyle n$ växer. Då närmar sig summan

S=\dfrac{a}{1-\nobreak k}

Viktigt

Kontrollera alltid kvoten. Om $\displaystyle k\ge1$ eller $\displaystyle k\le-1$ har den oändliga summan inget ändligt värde.

5. Tillämpningar

Sparande och lån med ränta på ränta.
Biologisk tillväxt och avklingande processer, till exempel läkemedel i kroppen.
Kostnader som ökar med en fast procent varje år. Sådana kostnader kan ingå i optimeringsmodeller.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Ändlig summa

Uppgift: Beräkna $\displaystyle 3+6+12+24+48$ .

Exempel 2: Oändlig summa

Uppgift: Beräkna $\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots$

Exempel 3: Sparande med ränta

Uppgift: Du sätter in 1 000 kr på ett konto i början av varje år i 10 år. Räntan är 5 procent per år. Hur mycket finns på kontot direkt efter den tionde insättningen?

Exempel 4: Kostnad som ökar varje år

Uppgift: En kostnad är 100 000 kr första året och ökar sedan med 10 procent per år. Vad blir den totala kostnaden under fem år?

Interaktiva funktioner

Delsummor av en geometrisk summa

Summan $\displaystyle 1+k+k^2+\ldots+k^{n-1}$ för $\displaystyle n=1,\ldots,10$ .

Kvot: $\displaystyle k=0{,}5$

Kvoten ligger mellan $\displaystyle -1$ och 1. Delsummorna närmar sig $\displaystyle \frac{1}{1-k}\approx2$ .

Delsummorna

Delsummor

Lodrät axel: delsumma

012345678910110123

Vågrät axel: antal termer n

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Sparkalkyl

Lika stora insättningar i början av varje år, med ränta på ränta.

Insättning per år: $\displaystyle a=1000\ \text{kr}$

Ränta: $\displaystyle p=5\ \%$

Antal år: $\displaystyle n=10$

S=\dfrac{1000(1{,}05^{10}-\nobreak 1)}{1{,}05-\nobreak 1}\approx\nobreak 12\,578\ \text{kr}

Av beloppet är $\displaystyle 10\,000\ \text{kr}$ insättningar och ungefär $\displaystyle 2578\ \text{kr}$ ränta.

Vanliga misstag

Att blanda ihop aritmetiska och geometriska följder.
Att använda formeln för oändlig summa när kvoten inte ligger mellan $\displaystyle -1$ och 1.
Att glömma specialfallet $\displaystyle k=1$ .
Att använda räntesatsen 0,05 som kvot i stället för förändringsfaktorn 1,05.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra området

Viktigt att tänka på

Skriv ut de första termerna och bestäm $\displaystyle a$ , $\displaystyle k$ och $\displaystyle n$ .
Kontrollera kvoten innan du beräknar en oändlig summa.
Räkna antalet termer noggrant, till exempel genom att skriva exponenterna.
Gå från procent till förändringsfaktor: 5 procent ökning ger faktorn 1,05.

Testa dig själv: Geometrisk summa1/3

Vad är summan av de fyra första termerna i 3, 6, 12, 24?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i geometri för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här