Kapitel 2.1.1: Allt om ändringskvoter | Matematik 3

Bakgrund

Ändringskvoten är grunden för derivata. Den beskriver hur snabbt något ändras i genomsnitt över ett intervall, till exempel medelhastigheten under en resa. Om intervallet görs mindre och mindre leder ändringskvoten till derivatan, som beskriver förändringen i en enda punkt.

Teori

1. Definition av ändringskvot

Ändringskvoten mellan $\displaystyle x_1$ och $\displaystyle x_2$ är ändringen i y-led delad med ändringen i x-led:

\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(x_2)-\nobreak f(x_1)}{x_2-\nobreak x_1}

Symbolen $\displaystyle \Delta$ (delta) betyder "ändring i". Ofta skriver man intervallets längd som $\displaystyle h=x_2-x_1$ . Då är $\displaystyle x_2=x+h$ och samma kvot blir

\dfrac{f(x+\nobreak h)-\nobreak f(x)}{h}

$\displaystyle f(x)$ är funktionsvärdet i startpunkten.
$\displaystyle f(x+h)$ är funktionsvärdet i slutpunkten.
$\displaystyle h$ är ändringen i x-led. Den får inte vara 0, eftersom man inte kan dividera med 0.

2. Geometrisk tolkning

Ändringskvoten är lutningen på sekanten, den räta linjen genom punkterna $\displaystyle (x;\ f(x))$ och $\displaystyle (x+h;\ f(x+h))$ på grafen. Samma formel som för en rät linje används: höjdskillnad delat med sidoförflyttning.

3. Från ändringskvot till derivata

När $\displaystyle h$ går mot 0 kommer de två punkterna allt närmare varandra. Sekanten närmar sig då tangenten, och ändringskvoten närmar sig derivatan:

f'(x)=\lim_{h\to\nobreak 0}\dfrac{f(x+\nobreak h)-\nobreak f(x)}{h}

Viktigt

Ändringskvoten gäller ett intervall. Derivatan gäller en punkt.

4. Egenskaper hos ändringskvoter

För en linjär funktion $\displaystyle f(x)=kx+m$ är ändringskvoten alltid $\displaystyle k$ , oavsett intervall.
För andra funktioner beror ändringskvoten på vilket intervall man väljer.
Positiv ändringskvot: funktionsvärdet har ökat i genomsnitt. Negativ: det har minskat. Noll: start- och slutvärdet är lika.

5. Enheter och tillämpningar

Ändringskvotens enhet är y-enheten delad med x-enheten. Några exempel:

Sträcka i meter och tid i sekunder ger medelhastighet i meter per sekund.
Kostnad i kronor och antal tillverkade varor ger genomsnittlig kostnad per vara.
Antal individer och tid i år ger genomsnittlig tillväxt per år.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Linjär funktion

Uppgift: Beräkna ändringskvoten för $\displaystyle f(x)=2x+3$ mellan $\displaystyle x=1$ och $\displaystyle x=4$ . Tolka svaret som en lutning.

Exempel 2: Andragradsfunktion med h

Uppgift: Förenkla ändringskvoten för $\displaystyle f(x)=x^2$ mellan $\displaystyle x=2$ och $\displaystyle x=2+h$ . Vad händer när $\displaystyle h$ går mot 0?

Exempel 3: Medelhastighet

Uppgift: En boll rullar nedför en ramp. Sträckan efter $\displaystyle t$ sekunder är $\displaystyle s(t)=5t^2$ meter. Beräkna bollens medelhastighet mellan $\displaystyle t=1$ och $\displaystyle t=3$ .

Exempel 4: Avtagande funktion

Uppgift: Temperaturen i en kopp te är $\displaystyle T(t)=80-3t$ grader Celsius, där $\displaystyle t$ är tiden i minuter. Beräkna ändringskvoten mellan $\displaystyle t=2$ och $\displaystyle t=6$ och tolka tecknet.

Interaktiva funktioner

Sekant och tangent för en parabel

Funktionen är $\displaystyle f(x)=x^2$ . Välj startpunkt $\displaystyle x$ och intervallängd $\displaystyle h$ .

Startpunkt: $\displaystyle x=1$

Intervallängd: $\displaystyle h=2$

\dfrac{f(3)-\nobreak f(1)}{2}=\dfrac{9-\nobreak 1}{2}=\nobreak 4

f'(1)=\nobreak 2\cdot\nobreak 1=\nobreak 2

Dra $\displaystyle h$ mot 0 och se hur ändringskvoten närmar sig derivatan. För den här funktionen är ändringskvoten exakt $\displaystyle 2x+h$ , så skillnaden är just $\displaystyle h$ .

Parabeln, sekanten och tangenten

Lodrät axel: y

−5−2013501020

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 10.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=x^2$
Streckad: Sekanten
Prickad: Tangenten

Markerade punkter (ungefär):

Startpunkt: (1; 1)
Slutpunkt: (3; 9)

Linjär funktion: konstant ändringskvot

Funktionen är $\displaystyle f(x)=2x+3$ .

$\displaystyle x_1=1$

$\displaystyle x_2=4$

\dfrac{11-\nobreak 5}{4-\nobreak 1}=\dfrac{6}{3}=\nobreak 2

Oavsett vilka punkter du väljer blir kvoten 2, eftersom linjen har samma lutning överallt.

Ändringskvot för exponentialfunktionen

Funktionen är $\displaystyle f(x)=e^x$ , där $\displaystyle e\approx2{,}718$ . Talet $\displaystyle e$ behandlas i avsnitt 2.3.

\displaystyle x_1

(mellan

\displaystyle -10

och 10)

\displaystyle x_2

(mellan

\displaystyle -10

och 10)

\dfrac{e^{1}-\nobreak e^{0}}{1-\nobreak 0}\approx\nobreak 1{,}718

Vanliga misstag

Att blanda ihop ändringskvot, som gäller ett intervall, med derivata, som gäller en punkt.
Att byta ordning i täljaren men inte i nämnaren. Skriv alltid slutpunkten först i både täljare och nämnare.
Att tro att ändringskvoten visar exakt hur funktionen ändras överallt i intervallet. Den visar bara den genomsnittliga ändringen.
Att glömma enheten i tillämpade uppgifter, till exempel meter per sekund.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra ändringskvoter

Viktigt att tänka på

Rita gärna en skiss med de två punkterna och sekanten mellan dem.
Beräkna funktionsvärdena först och sätt in dem i kvoten sedan.
Tolka alltid svaret i sammanhanget och ange enhet.
Pröva i den interaktiva funktionen hur sekanten blir en tangent när $\displaystyle h$ krymper.

Testa dig själv1/3

Vad är ändringskvoten för $\displaystyle f(x)=x^2$ mellan $\displaystyle x=1$ och $\displaystyle x=3$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här