Derivata och ändringskvoter

Lösning

1. Steg 1. Beräkna funktionsvärdena i intervallets ändpunkter.

   $$f(1)=\nobreak 1+\nobreak 3=\nobreak 4,\quad\allowbreak f(3)=\nobreak 9+\nobreak 9=\nobreak 18$$

2. Steg 2. Dividera ändringen i y med ändringen i x.

   $$\dfrac{f(3)-\nobreak f(1)}{3-\nobreak 1}=\dfrac{18-\nobreak 4}{2}=\nobreak 7$$

Svar: Ändringskvoten är 7. Funktionsvärdet ökar i genomsnitt med 7 per enhet i intervallet, och sekanten har lutningen 7.

Lösning

1. Steg 1. Derivera term för term med potensregeln. Konstanten 5 har derivatan 0.

   $$f'(x)=3\cdot\nobreak 2x-\nobreak 2\cdot\nobreak 1+\nobreak 0=\nobreak 6x-\nobreak 2$$

Svar: $\displaystyle f'(x)=6x-2$

Lösning

1. Steg 1. Derivera och faktorisera.

   $$f'(x)=\nobreak 3x^2-\nobreak 6x=\nobreak 3x(x-\nobreak 2)$$

2. Steg 2. Derivatan är 0 för $\displaystyle x=0$ och $\displaystyle x=2$. Avgör typen med andraderivatan.

   $$f''(x)=\nobreak 6x-\nobreak 6,\quad\allowbreak f''(0)=\nobreak -\nobreak 6<\nobreak 0,\quad\allowbreak f''(2)=\nobreak 6>\nobreak 0$$

3. Steg 3. Beräkna funktionsvärdena.

   $$f(0)=\nobreak 1,\quad\allowbreak f(2)=\nobreak 8-\nobreak 12+\nobreak 1=\nobreak -\nobreak 3$$

Svar: Lokal maximipunkt $\displaystyle (0;\ 1)$ och lokal minimipunkt $\displaystyle (2;\ -3)$.

Lösning

1. Steg 1. Volymen är längd gånger bredd gånger höjd, där $\displaystyle 0<x<15$.

   $$V(x)=x(30-\nobreak 2x)(40-\nobreak 2x)=4x^3-\nobreak 140x^2+\nobreak 1200x$$

2. Steg 2. Derivera och sätt derivatan lika med 0.

   $$V'(x)=12x^2-\nobreak 280x+\nobreak 1200=\nobreak 0$$

3. Steg 3. Lösningsformeln ger $\displaystyle x\approx5{,}66$ eller $\displaystyle x\approx17{,}68$. Bara det första värdet ligger i intervallet. Andraderivatan $\displaystyle V''(x)=24x-280$ är negativ där, så det är ett maximum.

   $$V(5{,}66)\approx\nobreak 3032\text{ cm}^3$$

Svar: Kvadraterna ska ha sidan cirka 5,7 cm, och den största volymen är ungefär $\displaystyle 3030\text{ cm}^3$.

Lösning

1. Steg 1. Derivera och faktorisera.

   $$f'(x)=3x^2-\nobreak 6x-\nobreak 9=3(x+\nobreak 1)(x-\nobreak 3)$$

2. Steg 2. Derivatan är 0 för $\displaystyle x=-1$ och $\displaystyle x=3$. Beräkna funktionsvärdena.

   $$f(-\nobreak 1)=\nobreak 10,\quad\allowbreak f(3)=\nobreak -\nobreak 22$$

3. Steg 3. Andraderivatan byter tecken där den är 0, i inflexionspunkten.

   $$f''(x)=\nobreak 6x-\nobreak 6=\nobreak 0\ \Rightarrow\ x=\nobreak 1,\quad\allowbreak f(1)=\nobreak -\nobreak 6$$

4. Steg 4. Faktorerna i $\displaystyle f'(x)$ är båda negativa för $\displaystyle x<-1$ och båda positiva för $\displaystyle x>3$, så derivatan är positiv där. Mellan $\displaystyle -1$ och 3 är derivatan negativ.

Svar: Lokal maximipunkt $\displaystyle (-1;\ 10)$, lokal minimipunkt $\displaystyle (3;\ -22)$ och inflexionspunkt $\displaystyle (1;\ -6)$. Funktionen växer för $\displaystyle x<-1$ och $\displaystyle x>3$ och avtar för $\displaystyle -1<x<3$.