Allt om derivata

Lösning

1. Steg 1. Derivera term för term med potensregeln. Konstanten $\displaystyle -1$ har derivatan 0.

   $$f'(x)=2\cdot\nobreak 3x^2-\nobreak 3\cdot\nobreak 2x+\nobreak 4=6x^2-\nobreak 6x+\nobreak 4$$

2. Steg 2. Sätt in $\displaystyle x=1$.

   $$f'(1)=6\cdot\nobreak 1^2-\nobreak 6\cdot\nobreak 1+\nobreak 4=\nobreak 4$$

Svar: $\displaystyle f'(x)=6x^2-6x+4$ och $\displaystyle f'(1)=4$. Tangenten i $\displaystyle x=1$ har alltså lutningen 4.

Lösning

1. Steg 1. Derivera.

   $$f'(x)=3x^2-\nobreak 6x-\nobreak 9$$

2. Steg 2. Sätt derivatan lika med 0. Dela med 3 och faktorisera.

   $$x^2-\nobreak 2x-\nobreak 3=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ (x-\nobreak 3)(x+\nobreak 1)=\nobreak 0$$

3. Steg 3. Lösningarna är $\displaystyle x=-1$ och $\displaystyle x=3$. Båda ligger i intervallet. Beräkna funktionsvärdet i dem och i ändpunkterna $\displaystyle x=-2$ och $\displaystyle x=4$. Till exempel är $\displaystyle f(-1)=-1-3+9+5=10$.

   $$f(-\nobreak 2)=\nobreak 3,\quad\allowbreak f(-\nobreak 1)=\nobreak 10,\quad\allowbreak f(3)=\nobreak -\nobreak 22,\quad\allowbreak f(4)=\nobreak -\nobreak 15$$

4. Steg 4. Jämför värdena. Det största är 10 och det minsta är $\displaystyle -22$.

Svar: Största värdet är 10 (när $\displaystyle x=-1$) och minsta värdet är $\displaystyle -22$ (när $\displaystyle x=3$).

Lösning

1. Steg 1. Lådans mått blir längd $\displaystyle 40-2x$, bredd $\displaystyle 30-2x$ och höjd $\displaystyle x$. Alla mått måste vara positiva, så $\displaystyle 0<x<15$.

   $$V(x)=x(40-\nobreak 2x)(30-\nobreak 2x)=4x^3-\nobreak 140x^2+\nobreak 1200x$$

2. Steg 2. Derivera och sätt derivatan lika med 0.

   $$V'(x)=12x^2-\nobreak 280x+\nobreak 1200=\nobreak 0$$

3. Steg 3. Dela med 4 och använd pq-formeln eller lösningsformeln.

   $$3x^2-\nobreak 70x+\nobreak 300=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ x=\dfrac{70\pm\nobreak \sqrt{1300}}{6}$$

4. Steg 4. Det ger $\displaystyle x\approx5{,}66$ eller $\displaystyle x\approx17{,}68$. Bara den första lösningen uppfyller $\displaystyle 0<x<15$.

5. Steg 5. Kontrollera att det är ett maximum med andraderivatan.

   $$V''(x)=\nobreak 24x-\nobreak 280,\quad\allowbreak V''(5{,}66)\approx\nobreak -\nobreak 144<\nobreak 0$$

Svar: Volymen blir störst när $\displaystyle x\approx5{,}66\ \text{cm}$. Då är $\displaystyle V\approx3032\ \text{cm}^3$.

Lösning

1. Steg 1. Produktregeln $\displaystyle (uv)'=u'v+uv'$ med $\displaystyle u=x^2$ och $\displaystyle v=e^x$.

   $$g'(x)=2x\cdot\nobreak e^x+\nobreak x^2\cdot\nobreak e^x=e^x(x^2+\nobreak 2x)$$

2. Steg 2. Kedjeregeln: derivera den yttre funktionen $\displaystyle \sin$ och multiplicera med derivatan av den inre $\displaystyle x^2$.

   $$h'(x)=\cos(x^2)\cdot\nobreak 2x$$

Svar: $\displaystyle g'(x)=e^x(x^2+2x)$ och $\displaystyle h'(x)=2x\cos(x^2)$.