Åk 9
Kapitel 3.7
Geometri

Likformiga trianglar

Likformiga trianglar har samma form. Du lär dig använda vinklar och sidförhållanden för att räkna ut okända längder och höjder.

På den här sidan

Bakgrund

Likformiga trianglar hjälper oss förstå proportioner och skala. Det används i kartor, arkitektur och när vi mäter höjder och avstånd indirekt.

Teori

Två trianglar är likformiga om de har samma form men kan ha olika storlek.

  • Alla motsvarande vinklar är lika stora.
  • Förhållandet mellan motsvarande sidor är konstant.

Det räcker att ett av följande villkor är uppfyllt

  1. Alla tre par av motsvarande vinklar är lika stora.
  2. Två par av motsvarande vinklar är lika stora.
  3. Alla tre par av motsvarande sidor är proportionella.
  4. Två par av sidor är proportionella och den mellanliggande vinkeln är lika.
a′a=b′b=c′c=k\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} =\nobreak k

Oprimade sidor hör till originalet och primade sidor till den skalade figuren. k\displaystyle k är skalfaktorn från original till skalad figur.

Tillämpningar

  • Beräkna höjder och avstånd indirekt.
  • Förstå skalor på kartor och ritningar.
  • Lösa problem inom trigonometri.

Miniövning: skala

Räkna ut skalan

Fyll i två motsvarande sidor och se vilken skala det ger. Använd sedan skalan för att beräkna en ny sida.

Originalsida

cm

Motsvarande sida

cm

Ny sida att skala

cm

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Identifiera likformighet

Uppgift: I triangeln ABC ligger D på AC och E på BC. DE är parallell med AB. Visa med vinkeljämförelse att trianglarna CDE och CAB är likformiga.

ABCDE
D ligger på AC och E på BC. Den streckade linjen DE är parallell med AB.

Exempel 2: Beräkna okänd sida

Uppgift: I två likformiga trianglar är AB=6\displaystyle AB = 6 cm, BC=8\displaystyle BC = 8 cm och DE=9\displaystyle DE = 9 cm. AB motsvarar DE och BC motsvarar EF. Beräkna EF\displaystyle EF. Skalafaktorn från den första triangeln till den andra är 1,5.

Exempel 3: Indirekt mätning

Uppgift: En person är 170 cm och skuggan är 250 cm. Samtidigt kastar ett träd en skugga på 1500 cm. Personen och trädet står lodrätt på samma plana mark och solstrålarna är parallella. Hur högt är trädet?

Vanliga misstag

Undvik detta

  • Anta likformighet bara för att trianglar ser lika ut.
  • Glömma att kontrollera villkoren för likformighet.
  • Blanda ihop sidförhållanden.
  • Missade enheter vid skala.

Testa dig själv

Testa dig själv1/2

Två likformiga trianglar har skalförhållandet 2:3. Om den mindre har en sida på 4 cm, hur lång är motsvarande sida i den större?

Vanliga frågor

Tips för att bemästra likformiga trianglar

Studietips

  • Träna på att hitta likformiga trianglar i figurer.
  • Använd sidförhållanden konsekvent.
  • Var extra noga med vinklarna.
  • Relatera till skala i vardagen.
  • Gör en rimlighetskontroll av svaret.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i geometri för Åk 9. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Aktivera JavaScript för att använda formulär och interaktiva verktyg. Sidans innehåll och länkar kan läsas utan JavaScript.