Kapitel 1.2: Talteori | Matematik 5

Bakgrund

Talteorin studerar heltalen: vilka tal som delar vilka, hur primtalen är fördelade och vilka rester som uppstår vid division. Resultaten används i allt från kontrollsiffror och kalendrar till kryptering av betalningar på internet.

Teori

Division med rest

För heltal $\displaystyle a$ och $\displaystyle b>0$ finns entydiga heltal $\displaystyle q$ (kvot) och $\displaystyle r$ (rest) så att

a=\nobreak qb+\nobreak r,\qquad\allowbreak 0\le\nobreak r<\nobreak b

Största gemensamma delare

Den största gemensamma delaren $\displaystyle \operatorname{sgd}(a,b)$ hittas med Euklides algoritm: dela, ersätt det större talet med resten och upprepa tills resten är noll.

Översikt

Avsnitten går igenom delbarhet och primtal, gemensamma faktorer, kongruensräkning och tal i olika baser.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Division med rest

Uppgift: Bestäm kvot och rest när $\displaystyle -17$ delas med $\displaystyle 5$ .

Exempel 2: Euklides algoritm

Uppgift: Bestäm $\displaystyle \operatorname{sgd}(252,\ 198)$ .

Interaktiva funktioner

Euklides algoritm

Välj två positiva heltal. Varje rad delar det större talet med det mindre.

Första talet: $\displaystyle a=252$

Andra talet: $\displaystyle b=198$

252=1\cdot\nobreak 198+\nobreak 54\\198=3\cdot\nobreak 54+\nobreak 36\\54=1\cdot\nobreak 36+\nobreak 18\\36=2\cdot\nobreak 18+\nobreak 0

\operatorname{sgd}(252,\ \allowbreak 198)=\nobreak 18,\qquad\allowbreak \operatorname{mgm}(252,\ \allowbreak 198)=\dfrac{252\cdot\nobreak 198}{18}=\nobreak 2772

Vanliga misstag

Att låta resten bli negativ vid division av negativa tal.
Att sluta Euklides algoritm ett steg för tidigt.
Att blanda ihop största gemensamma delare och minsta gemensamma multipel.

Vanliga frågor

Tips för talteori

Viktigt att tänka på

Skriv upp divisionsalgoritmen med kvot och rest.
Kontrollera största gemensamma delaren genom att dela båda talen med den.

Testa dig själv: Talteori1/3

Vilken rest får man när $\displaystyle 47$ delas med $\displaystyle 5$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här