Direkta bevis

Lösning

1. Steg 1. Låt talen vara $\displaystyle n$, $\displaystyle n+1$ och $\displaystyle n+2$.

   $$n+\nobreak (n+\nobreak 1)+\nobreak (n+\nobreak 2)=\nobreak 3n+\nobreak 3$$

2. Steg 2. Bryt ut 3.

   $$3n+\nobreak 3=\nobreak 3(n+\nobreak 1)$$

Svar: Summan är 3 gånger heltalet $\displaystyle n+1$ och är därför delbar med 3.

Lösning

1. Steg 1. Skriv det udda talet som $\displaystyle 2k+1$.

   $$(2k+\nobreak 1)^2=4k^2+\nobreak 4k+\nobreak 1$$

2. Steg 2. Bryt ut 2 ur de två första termerna.

   $$2(2k^2+\nobreak 2k)+\nobreak 1$$

Svar: Kvadraten är två gånger ett heltal plus ett, alltså udda.

Lösning

1. Steg 1. En kvadrat är aldrig negativ.

   $$(a-\nobreak b)^2\ge\nobreak 0$$

2. Steg 2. Utveckla kvadraten.

   $$a^2-\nobreak 2ab+\nobreak b^2\ge\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ a^2+\nobreak b^2\ge\nobreak 2ab$$

Svar: Olikheten gäller för alla reella tal, med likhet precis när $\displaystyle a=b$.