Talföljder

Talföljder kan anges explicit eller rekursivt. Här ges en översikt över aritmetiska, geometriska och rekursiva talföljder.

På den här sidan

Bakgrund

En talföljd är en uppräkning av tal i en bestämd ordning. Talföljder beskriver till exempel sparande med ränta, befolkningstillväxt och mönster i naturen. De kan anges med en formel för varje term eller med en regel som säger hur nästa term fås ur den föregående.

Teori

Explicit formel: varje term räknas direkt, till exempel $\displaystyle a_n=n^2$ .
Rekursiv formel: nästa term räknas ur de föregående, till exempel $\displaystyle a_{n+1}=a_n+2$ med ett startvärde.
Aritmetisk talföljd: konstant differens $\displaystyle d$ , $\displaystyle a_n=a_1+(n-1)d$ .
Geometrisk talföljd: konstant kvot $\displaystyle k$ , $\displaystyle a_n=a_1\cdot k^{n-1}$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Explicit formel

Uppgift: Talföljden 5, 8, 11, 14, ... är aritmetisk. Bestäm en explicit formel och $\displaystyle a_{20}$ .

Exempel 2: Från rekursiv till explicit

Uppgift: En talföljd ges av $\displaystyle a_1=3$ och $\displaystyle a_{n+1}=2a_n$ . Beskriv den explicit.

Interaktiva funktioner

Rekursiv talföljd

Talföljden ges av $\displaystyle a_{n+1}=k\cdot a_n+d$ med startvärdet $\displaystyle a_1$ .

Startvärde: $\displaystyle a_1=2$

Faktor: $\displaystyle k=2$

Tillägg: $\displaystyle d=1$

a_{1}=\nobreak 2,\quad\allowbreak a_{2}=\nobreak 5,\quad\allowbreak a_{3}=\nobreak 11,\quad\allowbreak a_{4}=\nobreak 23,\quad\allowbreak a_{5}=\nobreak 47,\quad\allowbreak a_{6}=\nobreak 95,\quad\allowbreak a_{7}=\nobreak 191,\quad\allowbreak a_{8}=\nobreak 383

Talföljden är varken aritmetisk eller geometrisk, men kan ändå beskrivas rekursivt.

Talföljdens första tio termer

Lodrät axel: termens värde

03691105001 0001 500

Vågrät axel: n

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 500.

Vanliga misstag

Att blanda ihop index och värde: $\displaystyle a_5$ är den femte termen, inte talet 5.
Att börja räkna index från fel tal, till exempel 0 i stället för 1.
Att anta att en talföljd är aritmetisk utan att kontrollera differenserna.

Vanliga frågor

Tips för talföljder

Viktigt att tänka på

Beräkna differenser och kvoter mellan termerna.
Kontrollera en formel genom att sätta in de första indexen.

Testa dig själv: Talföljder1/3

Vad är $\displaystyle a_5$ om $\displaystyle a_n=3n-1$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här