Kapitel 1.3.1: Rekursiva talföljder | Matematik 5

Bakgrund

Många förlopp beskrivs naturligt steg för steg: nästa års befolkning beror på årets, nästa månads skuld beror på denna månads. Sådana samband ger rekursiva talföljder. Ibland går det att hitta en explicit formel, och ibland räknar man bäst rekursivt, till exempel i ett kalkylprogram.

Teori

a_1=\nobreak c,\qquad\allowbreak a_{n+\nobreak 1}=\nobreak f(a_n)

Rekursionsformeln säger hur nästa term räknas ut och startvärdet var talföljden börjar. En vanlig typ är $\displaystyle a_{n+1}=k\cdot a_n+d$ , som beskriver till exempel ett sparande där man både får ränta och sätter in ett fast belopp.

Om talföljden närmar sig ett värde $\displaystyle L$ måste $\displaystyle L=kL+d$ , alltså $\displaystyle L=\frac{d}{1-k}$ . Det händer när $\displaystyle |k|<1$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Beräkna termer

Uppgift: Bestäm de fem första termerna i $\displaystyle a_1=1$ , $\displaystyle a_{n+1}=2a_n+1$ .

Exempel 2: Medicin i kroppen

Uppgift: En patient tar 100 mg av ett läkemedel varje morgon. Under ett dygn bryts 40 procent ned. Hur mycket finns i kroppen direkt efter en dos i längden?

Interaktiva funktioner

Rekursiv talföljd

Talföljden ges av $\displaystyle a_{n+1}=k\cdot a_n+d$ med startvärdet $\displaystyle a_1$ .

Startvärde: $\displaystyle a_1=2$

Faktor: $\displaystyle k=2$

Tillägg: $\displaystyle d=1$

a_{1}=\nobreak 2,\quad\allowbreak a_{2}=\nobreak 5,\quad\allowbreak a_{3}=\nobreak 11,\quad\allowbreak a_{4}=\nobreak 23,\quad\allowbreak a_{5}=\nobreak 47,\quad\allowbreak a_{6}=\nobreak 95,\quad\allowbreak a_{7}=\nobreak 191,\quad\allowbreak a_{8}=\nobreak 383

Talföljden är varken aritmetisk eller geometrisk, men kan ändå beskrivas rekursivt.

Talföljdens första tio termer

Lodrät axel: termens värde

03691105001 0001 500

Vågrät axel: n

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 500.

Vanliga misstag

Att glömma startvärdet.
Att blanda ihop indexen, till exempel räkna $\displaystyle a_{n+1}$ ur sig själv i stället för ur $\displaystyle a_n$ .
Att tro att alla rekursiva talföljder har ett gränsvärde.

Vanliga frågor

Tips för rekursiva talföljder

Viktigt att tänka på

Räkna ut några termer för hand och leta efter ett mönster.
Sätt $\displaystyle L=f(L)$ för att hitta ett möjligt gränsvärde.

Testa dig själv: Rekursiva talföljder1/3

Vad är $\displaystyle a_4$ om $\displaystyle a_1=2$ och $\displaystyle a_{n+1}=a_n+n$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här