Geometrisk och aritmetisk talföljd

Aritmetiska talföljder växer med samma tillskott och geometriska med samma faktor. Här härleds och används deras summaformler.

På den här sidan

Bakgrund

Aritmetiska och geometriska talföljder är de två enklaste typerna av talföljder. Den ena växer med samma tillskott varje gång, den andra med samma faktor. Deras summor har slutna formler, som används för lån, sparande och för att räkna snabbt med långa summor.

Teori

	Aritmetisk	Geometrisk
Regel	$\displaystyle a_{n+1}=a_n+d$	$\displaystyle a_{n+1}=k\cdot a_n$
Term	$\displaystyle a_n=a_1+(n-1)d$	$\displaystyle a_n=a_1k^{n-1}$
Summa	$\displaystyle s_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$	$\displaystyle s_n=\dfrac{a_1(k^n-1)}{k-1}$

Den aritmetiska summan fås genom att skriva summan framlänges och baklänges och addera: varje par blir $\displaystyle a_1+a_n$ . Den geometriska fås genom att multiplicera summan med $\displaystyle k$ och dra bort den ursprungliga summan. Formeln gäller när $\displaystyle k\neq1$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Aritmetisk summa

Uppgift: Beräkna $\displaystyle 1+2+3+\dots+100$ .

Exempel 2: Geometrisk summa

Uppgift: Någon sparar 1 000 kr i början av varje år i 10 år till 5 procents ränta. Hur mycket finns direkt efter sista insättningen?

Interaktiva funktioner

Termer och summa

Välj typ av talföljd, första term, differens eller kvot och antal termer.

Första term: $\displaystyle a_1=3$

Differens: $\displaystyle d=2$

Antal termer: $\displaystyle n=8$

3,\ \allowbreak 5,\ \allowbreak 7,\ \allowbreak 9,\ \allowbreak 11,\ \allowbreak 13,\ \allowbreak 15,\ \allowbreak 17

s_{8}=\dfrac{8\cdot\nobreak (3+\nobreak 17)}{2}=\nobreak 80

Vanliga misstag

Att räkna antalet termer fel, till exempel tro att det finns 99 tal från 1 till 100.
Att använda formeln för geometrisk summa när kvoten är 1.
Att skriva exponenten $\displaystyle n$ i stället för $\displaystyle n-1$ i formeln för den n-te termen.

Vanliga frågor

Tips för aritmetiska och geometriska talföljder

Viktigt att tänka på

Beräkna differenser och kvoter för att avgöra typen.
Räkna antalet termer noga innan summaformeln används.

Testa dig själv: Aritmetiska och geometriska talföljder1/3

Vad är summan $\displaystyle 1+2+3+\dots+100$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här