Motsägelsebevis och motexempel

Lösning

1. Steg 1. Anta motsatsen: $\displaystyle \sqrt{2}=\frac{p}{q}$ där $\displaystyle p$ och $\displaystyle q$ är heltal utan gemensam faktor.

   $$2=\dfrac{p^2}{q^2}\ \Leftrightarrow\ p^2=\nobreak 2q^2$$

2. Steg 2. Då är $\displaystyle p^2$ jämnt, och därmed är $\displaystyle p$ jämnt. Skriv $\displaystyle p=2k$.

   $$4k^2=\nobreak 2q^2\ \Leftrightarrow\ q^2=\nobreak 2k^2$$

3. Steg 3. Då är även $\displaystyle q$ jämnt. Både $\displaystyle p$ och $\displaystyle q$ är alltså delbara med 2.

Svar: Det motsäger att bråket inte hade någon gemensam faktor. Antagandet är fel, och $\displaystyle \sqrt{2}$ är irrationellt.

Lösning

1. Steg 1. Anta att det bara finns ändligt många, $\displaystyle p_1,p_2,\dots,p_k$. Bilda talet

   $$N=p_1p_2\cdots p_k+\nobreak 1$$

2. Steg 2. Division av $\displaystyle N$ med vilket som helst av primtalen ger resten 1. Men $\displaystyle N$ har en primtalsfaktor, som då inte finns i listan.

Svar: Det motsäger att listan innehöll alla primtal. Alltså finns oändligt många.