Kapitel 1.4.2: Induktionsbevis | Matematik 5

Bakgrund

Induktion fungerar som en rad dominobrickor: om den första brickan faller, och varje bricka som faller fäller nästa, så faller alla. På samma sätt kan man visa att ett påstående gäller för alla positiva heltal, trots att det finns oändligt många.

Teori

Basfall: visa att påståendet gäller för det minsta talet, oftast $\displaystyle n=1$ .
Induktionsantagande: anta att påståendet gäller för ett godtyckligt $\displaystyle n=p$ .
Induktionssteg: visa att det då också gäller för $\displaystyle n=p+1$ .
Slutsats: enligt induktionsprincipen gäller påståendet för alla $\displaystyle n$ från basfallet och uppåt.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Summan av de första heltalen

Uppgift: Visa att $\displaystyle 1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ för alla positiva heltal $\displaystyle n$ .

Exempel 2: Delbarhet

Uppgift: Visa att $\displaystyle 4^n-1$ är delbart med 3 för alla positiva heltal $\displaystyle n$ .

Interaktiva funktioner

Kontrollera formeln för summan

Formeln $\displaystyle 1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ prövas för det valda $\displaystyle n$ . Induktionsbeviset visar att den gäller för alla.

Antal termer: $\displaystyle n=5$

1+\nobreak 2+\nobreak 3+\nobreak 4+\nobreak 5=\nobreak 15

\dfrac{5\cdot\nobreak 6}{2}=\nobreak 15

Vanliga misstag

Att glömma basfallet. Utan det bevisar induktionssteget ingenting.
Att anta det som ska visas för $\displaystyle p+1$ i stället för för $\displaystyle p$ .
Att inte använda induktionsantagandet i steget.

Vanliga frågor

Tips för induktionsbevis

Viktigt att tänka på

Skriv upp vad som ska visas för $\displaystyle p+1$ innan du börjar räkna.
Leta efter induktionsantagandet i uttrycket för $\displaystyle p+1$ .

Testa dig själv: Induktionsbevis1/3

Vilka två delar har ett induktionsbevis?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här