Matematiska bevis

Det finns flera sätt att bevisa ett påstående. Här jämförs de vanligaste bevismetoderna och när de passar.

På den här sidan

Bakgrund

Det finns flera sätt att bevisa ett påstående. Valet av metod beror på påståendets form. Det här avsnittet ger en översikt över de vanligaste bevismetoderna och när de passar, och delavsnitten går igenom dem en i taget.

Teori

Metod	Idé	Passar när
Direkt bevis	Från P till Q steg för steg	Förutsättningen går att skriva om algebraiskt
Kontraposition	Visa $\displaystyle \neg Q\Rightarrow\neg P$	Det är lättare att utgå från att slutsatsen är falsk
Motsägelse	Anta motsatsen och hitta något omöjligt	Man ska visa att något inte finns eller är irrationellt
Induktion	Basfall och induktionssteg	Påståendet gäller alla positiva heltal
Motexempel	Ett fall där påståendet inte gäller	Man ska visa att ett allmänt påstående är falskt

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Välj metod

Uppgift: Vilken metod passar för att visa att $\displaystyle 1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ för alla positiva heltal $\displaystyle n$ ?

Exempel 2: Motexempel

Uppgift: Påstående: $\displaystyle n^2+n+41$ är ett primtal för alla positiva heltal $\displaystyle n$ . Är det sant?

Interaktiva funktioner

Kontrollera formeln för summan

Formeln $\displaystyle 1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ prövas för det valda $\displaystyle n$ . Induktionsbeviset visar att den gäller för alla.

Antal termer: $\displaystyle n=5$

1+\nobreak 2+\nobreak 3+\nobreak 4+\nobreak 5=\nobreak 15

\dfrac{5\cdot\nobreak 6}{2}=\nobreak 15

Vanliga misstag

Att blanda ihop kontraposition och omvändning.
Att tro att många exempel kan ersätta ett bevis.
Att glömma basfallet i ett induktionsbevis.

Vanliga frågor

Tips för bevismetoder

Viktigt att tänka på

Skriv påståendet som en implikation för att se vad som är givet.
Pröva några fall först för att förstå varför påståendet gäller.

Testa dig själv: Bevismetoder1/3

Vilken bevismetod passar för att visa att ett påstående gäller för alla positiva heltal n?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här