Fibonaccis talföljd

Lösning

1. Steg 1. För $\displaystyle n=5$.

   $$1+\nobreak 1+\nobreak 2+\nobreak 3+\nobreak 5=\nobreak 12=\nobreak F_7-\nobreak 1=\nobreak 13-\nobreak 1$$

2. Steg 2. Resonemang: $\displaystyle F_k=F_{k+2}-F_{k+1}$, så summan blir en teleskopsumma.

   $$\sum_{k=\nobreak 1}^{n}(F_{k+\nobreak 2}-\nobreak F_{k+\nobreak 1})=F_{n+\nobreak 2}-\nobreak F_2$$

Svar: Eftersom $\displaystyle F_2=1$ är summan $\displaystyle F_{n+2}-1$. Det bevisas också med induktion i avsnitt 1.4.2.

Lösning

1. Steg 1. pq-formeln.

   $$\varphi=\dfrac{1}{2}\pm\nobreak \sqrt{\dfrac{1}{4}+\nobreak 1}=\dfrac{1\pm\nobreak \sqrt{5}}{2}$$

2. Steg 2. Kvoten för $\displaystyle n=10$.

   $$\dfrac{F_{11}}{F_{10}}=\dfrac{89}{55}\approx\nobreak 1{,}6182$$

Svar: Den positiva roten är $\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1{,}6180$, och kvoten stämmer redan på tre decimaler.