Indirekta bevis

I ett indirekt bevis visar man kontrapositionen, som är likvärdig med det ursprungliga påståendet.

På den här sidan

Bakgrund

I ett indirekt bevis visar man en implikation genom att i stället visa dess kontraposition. Det är praktiskt när förutsättningen är svår att arbeta med, men motsatsen till slutsatsen är lätt att skriva algebraiskt.

Teori

(P\Rightarrow Q)\ \Leftrightarrow\ (\neg Q\Rightarrow\neg P)

Att visa "om inte Q så inte P" är alltså lika bra som att visa "om P så Q". Observera skillnaden mot omvändningen $\displaystyle Q\Rightarrow P$ , som inte är likvärdig.

Påstående	Form	Samma sanningsvärde som originalet?
Original	$\displaystyle P\Rightarrow Q$	Ja
Kontraposition	$\displaystyle \neg Q\Rightarrow\neg P$	Ja, alltid
Omvändning	$\displaystyle Q\Rightarrow P$	Inte nödvändigtvis

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Kvadrat och jämnhet

Uppgift: Visa att om $\displaystyle n^2$ är jämnt så är $\displaystyle n$ jämnt.

Exempel 2: Summa av två tal

Uppgift: Visa att om $\displaystyle a+b>10$ så är $\displaystyle a>5$ eller $\displaystyle b>5$ , för reella tal.

Interaktiva funktioner

Udda tal och deras kvadrater

Välj ett heltal. Kvadraten av ett udda tal är alltid udda, vilket är kontrapositionen i exempel 1.

Heltal: $\displaystyle n=7$

7^2=\nobreak 49

Talet är udda och kvadraten är udda.

Vanliga misstag

Att visa omvändningen i stället för kontrapositionen.
Att negera fel: motsatsen till a större än 5 eller b större än 5 är att båda är högst 5.

Vanliga frågor

Tips för indirekta bevis

Viktigt att tänka på

Skriv ut kontrapositionen innan du börjar.
Kontrollera negationerna noga, särskilt med och eller.

Testa dig själv: Indirekta bevis1/3

Vad är kontrapositionen till "om $\displaystyle n^2$ är jämnt så är $\displaystyle n$ jämnt"?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Matematik 5. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här