Gymnasiet
Ma4
Kapitel 4.1

Aritmetik med komplexa tal

Med komplexa tal räknas nästan som med vanlig algebra, med regeln att i i kvadrat är minus ett.

På den här sidan

Bakgrund

Med komplexa tal räknar man nästan som med vanliga algebraiska uttryck. Den enda nya regeln är att i2=−1\displaystyle i^2=-1. Det här avsnittet ger en översikt över räknesätten, konjugat och belopp, som delavsnitten sedan går igenom i detalj.

Teori

RäknesättRegel
Addition(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
Subtraktion(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i\displaystyle (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
Multiplikation(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
DivisionFörläng med nämnarens konjugat

Potenser av i

Potenserna av i\displaystyle i upprepar sig med perioden 4:

i0=1,i1=i,i2=−1,i3=−i,i4=1i^0=\nobreak 1,\quad\allowbreak i^1=\nobreak i,\quad\allowbreak i^2=\nobreak -\nobreak 1,\quad\allowbreak i^3=\nobreak -\nobreak i,\quad\allowbreak i^4=\nobreak 1

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Uttryck med flera räknesätt

Uppgift: Förenkla (1+i)2−2i\displaystyle (1+i)^2-2i.

Exempel 2: Hög potens av i

Uppgift: Beräkna i23\displaystyle i^{23}.

Interaktiva funktioner

Potenser av i

Varje multiplikation med i\displaystyle i vrider talet ett kvarts varv moturs.

Exponent: n=5\displaystyle n=5

i5=i4⋅1+1=i1=ii^{5}=i^{4\cdot\nobreak 1+\nobreak 1}=\nobreak i^{1}=\nobreak i
Potensen på enhetscirkeln
-2-1012-2i-1i01i2iReImi5\displaystyle i^{5}
  • i5\displaystyle i^{5}: i\displaystyle i

Vanliga misstag

  • Att räkna i2=1\displaystyle i^2=1.
  • Att addera realdel och imaginärdel med varandra.
  • Att dividera komplexa tal utan att förlänga med konjugatet.

Vanliga frågor

Tips för aritmetik

Viktigt att tänka på

  • Ersätt i i kvadrat med minus ett direkt.
  • Samla realdelar och imaginärdelar var för sig.

Testa dig själv: Aritmetik med komplexa tal1/3

Vad är (3+2i)+(1−5i)\displaystyle (3+2i)+(1-5i)?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Aktivera JavaScript för att använda formulär och interaktiva verktyg. Sidans innehåll och länkar kan läsas utan JavaScript.