Kapitel 4.2.7: Transversalsatsen | Matematik 2

Bakgrund

När en transversal skär parallella linjer uppstår proportioner mellan segment. Dessa proportioner används för att beräkna okända längder, dela sträckor i givna förhållanden och verifiera parallellitet.

Teori

I triangeln ABE ligger C på AB och D på AE. Om CD är parallell med BE delas de två sidorna i samma förhållande:

Transversalsatsen

\frac{AC}{CB}=\frac{AD}{DE}

ABECD

Alternativt ekvivalent uttryck:

\frac{AC}{AD}=\frac{CB}{DE}

Bevisidé med likformiga trianglar

Trianglarna ACD och ABE är likformiga: vinkeln vid A är gemensam och parallelliteten ger lika motsvarande vinklar.

ABECD

VV ger likformighet. Därför är $\displaystyle \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AE}$ .
Eftersom $\displaystyle AB=AC+CB$ och $\displaystyle AE=AD+DE$ får vi:

\frac{AC}{AC+\nobreak CB}=\frac{AD}{AD+\nobreak DE}

\begin{gathered}AC(AD+DE)\\=AD(AC+\nobreak CB)\\AC\cdot\nobreak DE\\=AD\cdot\nobreak CB\end{gathered}

Subtrahera den gemensamma produkten $\displaystyle AC\cdot AD$ och dividera sedan med de positiva längderna CB och DE.

\frac{AC}{CB}=\frac{AD}{DE}

Tillämpningar av transversalsatsen

Dela en sträcka i ett givet förhållande.
Beräkna okända längder i figurer med parallella linjer.
Bevisa att linjer är parallella genom proportionstest.
Lösa sammansatta geometriuppgifter med flera trianglar.

Interaktivt transversallabb

Längder, skalor och massor ska vara positiva. Koordinater och vektorkomponenter får även vara negativa eller noll. Talens absolutbelopp får vara högst 1 000 000 och minst 0,000001 när talet inte är noll. Triangelvinklar ska vara större än 0 och mindre än 180 grader.

1) Okänd längd

Beräkna DE med transversalsatsen.

ACCBAD

DE = 7,5

DE=\frac{AD\cdot\nobreak CB}{AC}

2) Parallellitetstest

Kontrollera om proportionerna matchar.

ACCBADDE

AC/CB = 1,5

AD/DE = 1,5

Bedömning: Proportionerna stämmer (parallella linjer är rimligt).

3) Dela sträcka i m:n

Beräkna AP och PB när AB är given.

ABmn

AP = 8

PB = 12

\begin{gathered}AP=\frac{m}{m+\nobreak n}AB\\PB=\frac{n}{m+\nobreak n}AB\end{gathered}

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Beräkning av okänd längd

Uppgift: I triangeln ABE är CD parallell med BE, C ligger på AB och D på AE. AC = 8 cm, CB = 6 cm och AD = 10 cm. Beräkna DE.

Exempel 2: Bevisa parallellitet

Uppgift: I triangeln ABE ligger C på AB och D på AE. AC = 12 cm, CB = 8 cm, AD = 9 cm och DE = 6 cm. Visa att CD är parallell med BE.

Exempel 3: Dela sträckan AB i förhållandet 2:3

Uppgift: Beskriv en konstruktion som delar sträckan AB i förhållandet AP:PB = 2:3.

Vanliga misstag

Förväxla segmentförhållanden med förhållanden mellan hela sträckor.
Glömma att kontrollera att linjerna verkligen är parallella.
Sätta upp proportionerna i olika ordning på vänster och höger sida.
Tillämpa satsen på figurer där villkoren inte är uppfyllda.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra transversalsatsen

Viktigt att tänka på

Verifiera parallellvillkoret innan du använder satsen.
Håll konsekvent ordning i proportionerna.
Kombinera med likformighet och vinkelregler i fler-stegsproblem.
Använd satsen både framåt (beräkna längd) och bakåt (bevisa parallellitet).
Kontrollera enheter i slutsvar.

Kvalitetskontroll

Sidan innehåller definition, huvudformel, alternativ formel, bevisidé och tillämpningar.
Exempel 1-3 visar fullständiga numeriska resultat.
Två centrala SVG-figurer och en konstruktionsfigur har beskrivande aria-labels.
Interaktivitet täcker beräkning, parallellitetstest och delning i förhållande.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i geometri för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här