Kordasatsen
Kordasatsen beskriver sambandet mellan segment på två kordor som skär varandra i en cirkel. Den används ofta tillsammans med randvinklar, likformighet och tangent-sekant-satsen för att beräkna okända längder.
På den här sidan
Bakgrund
Kordasatsen är en central sats i cirkelgeometri och förekommer i både klassiska geometriuppgifter och tillämpningar inom trigonometri och analytisk geometri.
Teori
Definition av korda
En korda är en sträcka mellan två punkter på cirkelns periferi. En diameter är ett specialfall av en korda som passerar genom cirkelns mittpunkt.
Kordasatsen
Om två kordor skär varandra inne i en cirkel gäller att produkten av delarna på den ena kordan är lika med produkten av delarna på den andra.
Bevis för kordasatsen (översikt)
- Låt AB och CD vara kordorna och E deras skärningspunkt. Sätt .
- Trianglarna AEC och DEB har lika vertikalvinklar vid E.
- , eftersom båda är randvinklar över bågen AD. VV ger likformighet.
Korsmultiplikation ger , alltså .
Specialfall: tangent-sekant-satsen
Om en tangent och en sekant dras från samma punkt utanför cirkeln gäller:
Här är a tangentlängden PT, b den yttre sekantdelen PA och c hela sekantlängden PB, inte bara delen inne i cirkeln.
Tillämpningar av kordasatsen
- Beräkning av okända längder i cirklar.
- Geometriska konstruktioner och bevis.
- Tillämpningar i fysik och ingenjörsuppgifter med cirkulär geometri.
- Specialfall med tangent och sekant.
Interaktivt kordalabb
Längder, skalor och massor ska vara positiva. Koordinater och vektorkomponenter får även vara negativa eller noll. Talens absolutbelopp får vara högst 1 000 000 och minst 0,000001 när talet inte är noll. Triangelvinklar ska vara större än 0 och mindre än 180 grader.
1) Kordasatsen
Beräkna okänt segment d.
d = 8
2) Tangent-sekant
Beräkna sekantens inre del.
Inre del ≈ 4,67
3) Produktbalans
Beräkna y₂ så att x₁x₂ = y₁y₂.
Krävt y₂: 10,67
Exempel och tillämpningar
Exempel 1: Grundläggande kordasats
Uppgift: Två kordor skär varandra inne i en cirkel. Den ena delas i 6 cm och 4 cm. Den andra delas i 3 cm och x cm. Beräkna x.
- Låt x vara den okända korddelen.
- Enligt kordasatsen gäller .
- .
Den okända delen är 8 cm.
Exempel 2: Tangent-sekant-satsen
Uppgift: Från en punkt utanför cirkeln är tangenten 8 cm och den yttre sekantdelen 6 cm. Beräkna sekantens inre del x.
- Låt x vara sekantens inre del.
- .
- .
Sekantens inre del är cirka 4,67 cm.
Exempel 3: Kontrollera om informationen räcker
Uppgift: Förklara vilken information som krävs för att använda kordasatsen och avgöra en okänd längd.
De givna uppgifterna räcker inte för ett entydigt numeriskt radiesvar utan extra villkor.
Kontroll av givna data
Metoden i sig är korrekt på Ma2-nivå: använd kordasatsen för segmentrelationer och kombinera med Pythagoras i de rätvinkliga deltrianglar som uppstår.
Vanliga misstag
- Förväxla kordasatsen med tangent-sekant-satsen.
- Glömma att använda rätt segment (inre delarna vid skärningspunkten).
- Anta att kordor alltid skär i cirkelns mittpunkt.
- Missa kontroll av om figuren verkligen uppfyller satsens villkor.
Vanliga frågor
Tips för att bemästra kordasatsen
Viktigt att tänka på
- Skissa alltid figuren och namnge segmenten innan du räknar.
- Identifiera snabbt om uppgiften är korda-korda eller tangent-sekant.
- Kontrollera enheter och rimlighet i slutsvaret.
- Knyt gärna lösningen till likformiga trianglar för starkare motivering.
- För högre nivå: koppla gärna till potens till en punkt som fördjupning.
Kvalitetskontroll
- Definition, huvudformel, bevisöversikt och specialfall tangent-sekant finns med.
- Exempel 1-2 visar fullständiga värden och slutsatser.
- Exempel 3 visar hur man avgör om informationen räcker för ett entydigt svar.
- Interaktivitet täcker tre centrala beräkningstyper för snabb träning.
Testa att du förstått
Träna uppgifter i geometri för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.