Kapitel 4.2.6: Topptriangelsatsen | Matematik 2

Bakgrund

Satsen används i geometri, bevis, koordinatmetoder och tillämpningar som parallellogramberäkningar och optimering av area.

Teori

Topptriangelsatsen handlar om likformighet. En linje parallell med en sida i en triangel skär av en mindre triangel som är likformig med den ursprungliga.

Topptriangelsatsen

I triangeln ABC ligger D på AB och E på AC. När DE är parallell med BC gäller:

\begin{gathered}\frac{AD}{AB}\\=\frac{AE}{AC}\\=\frac{DE}{BC}\\=\nobreak k\end{gathered}

ABCDE

Bevis: Vinkeln vid A är gemensam. Parallelliteten ger lika vinklar vid D och B samt E och C. VV ger därför likformighet mellan ADE och ABC. Sidkorrespondensen är AD mot AB, AE mot AC och DE mot BC, vilket ger proportionerna ovan.

Skalfaktorn uppfyller $\displaystyle 0<k<1$ för en strikt mindre topptriangel. Areaförhållandet är $\displaystyle A_{ADE}/A_{ABC}=k^2$ .

Komplettering: trianglars area

Triangelns area

Arean av en triangel är halva produkten av bas och höjd.

A=\frac{1}{2}\cdot\nobreak b\cdot\nobreak h

bh

Båda trianglarna har samma bas och höjd, alltså samma area.

Tillämpningar

Beräkning av triangelarea från bas och höjd.
Parallellogramarea via två kongruenta trianglar.
Geometriska bevis där area-jämförelse används.
Optimeringsproblem där toppens läge varierar men höjden hålls konstant.

Fördjupning: analytisk geometri

Med hörn i koordinaterna $\displaystyle (x1,y1)$ , $\displaystyle (x2,y2)$ , $\displaystyle (x3,y3)$ :

\begin{gathered}u=x_1(y_2-\nobreak y_3)\\v=x_2(y_3-\nobreak y_1)\\w=x_3(y_1-\nobreak y_2)\\A=\frac{|u+\nobreak v+\nobreak w|}{2}\end{gathered}

Beräkna en sida med topptriangelsatsen

Uppgift: DE är parallell med BC i triangeln ABC. Ange AB, AD och BC i centimeter och beräkna DE. D ska ligga mellan A och B.

AB (cm)AD (cm)BC (cm)

\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}

DE=\frac{AD}{AB}\cdot\nobreak BC

DE är ungefär 9 cm. Exempelvärdena ger $\displaystyle \frac{6}{10}\cdot15=9\text{ cm}$ .

Interaktivt arealabb

Längder, skalor och massor ska vara positiva. Koordinater och vektorkomponenter får även vara negativa eller noll. Talens absolutbelopp får vara högst 1 000 000 och minst 0,000001 när talet inte är noll. Triangelvinklar ska vara större än 0 och mindre än 180 grader.

1) Triangelarea

Beräkna med formeln A = 1/2 · b · h.

Bas bHöjd h

Area: 24 areaenheter²

2) Jämför två trianglar

Samma bas, olika höjder.

Bash₁h₂

A₁ = 35 och A₂ = 45

Skillnad: 10 areaenheter²

3) Parallellogramarea

Två kongruenta trianglar ger A = b · h.

Bas bHöjd h

Parallellogramarea: 60 areaenheter²

4) Koordinatarea

Area från tre hörn i planet.

x₁y₁x₂y₂x₃y₃

Area: 6

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Triangelarea

Uppgift: Beräkna arean av en triangel med basen 8 cm och den vinkelräta höjden 6 cm.

Exempel 2: Jämförelse av areor

Uppgift: Två trianglar har basen 10 cm och höjderna 7 cm respektive 9 cm. Beräkna areorna och deras skillnad.

Exempel 3: Parallellogram

Uppgift: En parallellogram har basen 12 cm och höjden 5 cm. Beräkna arean genom att dela den i två trianglar.

Exempel 4: Analytisk geometri

Uppgift: Bestäm arean av triangeln med hörnen (0; 0), (4; 0) och (2; 3).

Vanliga misstag

Förväxla bas och höjd i snedställda trianglar.
Glömma faktorn 1/2 i triangelarea.
Tro att samma omkrets automatiskt ger samma area.
Använda en sned sida i stället för vinkelrät höjd.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra topptriangelsatsen

Viktigt att tänka på

Markera tydligt vilken sida som är bas och vilken sträcka som är vinkelrät höjd.
Kontrollera enheter innan beräkning så att b och h har samma längdenhet.
Utnyttja att toppens läge kan flyttas längs en linje parallell med basen utan att arean ändras.
I parallellogram kan du alltid tänka “två lika trianglar”.

Kvalitetskontroll

Sidan innehåller definition, formel, visualisering, tillämpningar och fördjupning.
Samtliga fyra exempel från underlaget finns med stegvis.
Interaktivitet täcker triangelarea, jämförelse, parallellogram och koordinatberäkning.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i geometri för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här