Gymnasiet
Ma2
Kapitel 4.2.5

Likformighet

Likformighet beskriver figurer med samma form men olika storlek. Med skalfaktor och proportioner kan du lösa längder, skalproblem, trigonometriska samband och geometriska bevis.

På den här sidan

Bakgrund

Likformighet är ett av de viktigaste verktygen i geometri. Det används i ritningar, kartor, fysik, arkitektur och modellering. I Ma2 är det centralt för både bevis och problemlösning.

Teori

Definition av likformighet

Två figurer är likformiga om:

  1. Motsvarande vinklar är lika stora.
  2. Motsvarande sidors förhållanden är konstanta.

Det konstanta förhållandet kallas skalfaktor (likformighetsfaktor).

Matematisk notation

Om två trianglar är likformiga skrivs △ABC∼△DEF\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle DEF.

Skalfaktor

k=a′a=b′b=c′ck=\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}

Här är a,b,c\displaystyle a,b,c sidor i första figuren och a′,b′,c′\displaystyle a',b',c' motsvarande sidor i andra figuren.

Likformighetssatser för trianglar

  1. AAA: tre par lika stora vinklar.
  2. SAS: en gemensam vinkel + proportionella omslutande sidor.
  3. SSS: alla tre sidpar proportionella.

Tillämpningar av likformighet

1. Beräkning av okända längder

Om figurerna är likformiga sätter du upp proportioner och löser ekvationer.

Exempel

Uppgift: ABC och DEF är likformiga med A mot D, B mot E och C mot F. AB = 6 cm, BC = 8 cm och DE = 9 cm. Bestäm EF.

2. Skala och kartor

Skala 1:100 000 betyder att 1 cm på kartan motsvarar 100 000 cm i verkligheten.

Exempel

Uppgift: En karta har skala 1:100 000. Avståndet på kartan är 5 cm. Hur långt är det i verkligheten?

3. Parallella linjer och transversal

När två strålar från samma punkt skär två parallella linjer bildas likformiga trianglar. Detta är grunden för topptriangel- och transversalsatsen.

ABCDE

4. Transversalsatsen

Om en linje i en triangel dras parallellt med basen, delas de andra sidorna i samma förhållande.

ABCDE
ADDB=AEEC\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}

Likformighet i andra figurer

  • Rektanglar: samma längd-bredd-förhållande.
  • Cirklar: alla cirklar är likformiga.
  • Polygoner: lika vinklar + proportionella sidor.

Fördjupning: likformighet och trigonometri

Sinus, cosinus och tangens bygger på att rätvinkliga trianglar med samma spetsvinkel är likformiga.

Trigonometriska förhållanden

sin⁡θ=motsta˚ende katethypotenusa\begin{gathered}\sin\theta\\=\frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenusa}}\end{gathered}cos⁡θ=na¨rliggande katethypotenusa\begin{gathered}\cos\theta\\=\frac{\text{närliggande katet}}{\text{hypotenusa}}\end{gathered}tan⁡θ=motsta˚ende katetna¨rliggande katet\begin{gathered}\tan\theta\\=\frac{\text{motstående katet}}{\text{närliggande katet}}\end{gathered}

Interaktivt likformighetslabb

Längder, skalor och massor ska vara positiva. Koordinater och vektorkomponenter får även vara negativa eller noll. Talens absolutbelopp får vara högst 1 000 000 och minst 0,000001 när talet inte är noll. Triangelvinklar ska vara större än 0 och mindre än 180 grader.

1) Skalfaktor och okänd sida

Beräkna motsvarande sida med k.

Skalfaktor k = 1,5

Motsvarande sida b' = b·k = 12

2) SSS-kontroll

Är tre sidpar proportionella?

SSS-villkoret är uppfyllt: de två trianglarna är likformiga.

3) Kartskala

Omvandla karta till verklighet.

Verkligt avstånd ≈ 5 km

4) Area- och volymskalning

Hur påverkar skalfaktorn k yta och volym?

Areafaktor: k² = 9

Volymfaktor: k³ = 27

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Likformiga trianglar

Uppgift: ABC och DEF är likformiga med A mot D, B mot E och C mot F. Vinkeln B är rät. AB = 8 cm, BC = 6 cm och DE = 12 cm. Bestäm EF och DF.

Exempel 2: Transversalsatsen

Uppgift: D och E ligger på AB respektive AC och DE är parallell med BC. AD = 4 cm, DB = 6 cm och AC = 15 cm. Bestäm AE.

Exempel 3: Skala och kartor

Uppgift: Ett rum är 12 m långt och 8 m brett. Bestäm måtten på en ritning i skala 1:100.

Exempel 4: Likformighet i trigonometri

Uppgift: ABC och DEF är likformiga med A mot D, B mot E och C mot F. Vinkeln C är rät. AC = 8 cm, BC = 6 cm och DF = 10 cm. Bestäm AB och EF.

Fördjupad transversal-kalkylator

Beräkna AE direkt från AD, DB och AC

Bygger på proportionen ADDB=AEEC\displaystyle \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}, där EC=AC−AE\displaystyle EC=AC-AE.

AE ≈ 6

Vanliga misstag

  • Tro att likformig betyder samma storlek (det betyder samma form).
  • Glömma att kontrollera villkoren för AAA, SAS eller SSS.
  • Behandla skalfaktorn additivt i stället för multiplikativt.
  • Blanda ihop likformighet och kongruens.

Vanliga frågor

Exempel på area/volym-skalning

Om en kub skalar från sidlängd 2 cm till 6 cm är k = 3. Då blir volymförhållandet 3³ = 27.

Tips för att bemästra likformighet

Viktigt att tänka på

  • Identifiera alltid motsvarande sidor och vinklar innan du sätter upp proportioner.
  • Dela upp komplexa figurer i trianglar om möjligt.
  • Växla mellan figur, algebra och numeriska värden för bättre kontroll.
  • Testa om likformighet kan förenkla hela problemet innan du räknar långt.

Kvalitetskontroll

  • Sidan innehåller definition, skalfaktor, AAA/SAS/SSS, Transversalsatsen och tillämpningar.
  • Alla fyra exempel från underlaget finns med och är beräknade stegvis.
  • Interaktivitet täcker proportioner, SSS-test, skala, area/volymfaktor och Thales-beräkning.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i geometri för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Aktivera JavaScript för att använda formulär och interaktiva verktyg. Sidans innehåll och länkar kan läsas utan JavaScript.