Kapitel 3.1.5: Standardavvikelse | Matematik 2

Bakgrund

Standardavvikelse används för att förstå osäkerhet, variation och stabilitet i data inom forskning, ekonomi, utbildning och teknik.

Teori

1. Medelvärde

\bar{x}=\frac{\sum_{i=\nobreak 1}^{n}x_i}{n}

2. Varians

s^2=\frac{\sum_{i=\nobreak 1}^{n}(x_i-\nobreak \bar{x})^2}{n-\nobreak 1}

För population används i stället nämnaren n.

3. Standardavvikelse

s=\sqrt{\frac{\sum_{i=\nobreak 1}^{n}(x_i-\nobreak \bar{x})^2}{n-\nobreak 1}}

Standardavvikelsen har samma enhet som originaldata, vilket gör tolkningen mer direkt än variansen.

Interaktiv beräkning av standardavvikelse

Datamängd

Exempeldata: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

Antal värden: 8

Medelvärde: 5

Varians: 4,571

Standardavvikelse: 2,138

MAD: 1,5

Nämnare: 7

Avvikelsetabell

Visar x, $\displaystyle x - x$ ̄ och ( $\displaystyle x - x$ ̄)^2 för aktuell data.

x	$\displaystyle x - x$ ̄	( $\displaystyle x - x$ ̄)^2
2	−3	9
4	−1	1
4	−1	1
4	−1	1
5	0	0
5	0	0
7	2	4
9	4	16

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Jämförelse av datamängder

Uppgift: Jämför stickprovens medelvärde och standardavvikelse. A: 10; 12; 13; 14; 15; 16; 18; 20. B: 5; 7; 10; 13; 15; 17; 20; 25.

Datamängd ADatamängd B

$\displaystyle \text{A}: \bar{x} = 14{,}75 , s \approx 3{,}2403703$

$\displaystyle \text{B}: \bar{x} = 14 , s \approx 6{,}6975475$

Tolkning: Datamängd B har större spridning än A.

Exempel 2: Normalfördelning och standardavvikelse

Uppgift: Anta normalfördelning med medelvärdet 175 cm och standardavvikelsen 7 cm. Beräkna andelen över 189 cm och mellan 168 och 182 cm. Du kan ändra värdena nedan.

μσx (för P(X > x))FrånTill

z=\frac{x-\nobreak \mu}{\sigma}

$\displaystyle z \text{för} 189 : 2 \text{ger} P(X > x) \approx 2{,}2750063 \%$

$\displaystyle z-\text{från}: -1 , z-\text{till}: 1 \text{ger} P( 168 \le X \le 182 ) \approx 68{,}268947 \%$

Normalfördelning i standardiserad skala

Lodrät axel: Täthet

-4-202400,10,20,30,4

Vågrät axel: Standardiserat värde z

Rutlinjerna på x-axeln visar de markerade värdena. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 0,1.

Heldragen: Täthet för Z

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle x=-1$ .

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle x=1$ .

\displaystyle Z=\frac{X-\mu}{\sigma}

. Här är

\displaystyle \mu=175,\quad\sigma=7

. Det skuggade området motsvarar de valda gränserna; gränser inom utsnittet markeras med lodräta linjer. Utsnittet visar fyra standardavvikelser åt varje håll, ungefär 99,994 procent av hela fördelningen.

Exempel 3: Finansiell analys

Uppgift: Avkastningar i procent är 2; -1; 0,5; 1,5; -0,5. Beräkna medelvärde, stickprovsvarians och standardavvikelse och ange rätt enheter.

Vanliga misstag

Förväxla varians med standardavvikelse.
Glömma kvadratroten från varians till standardavvikelse.
Använda n i stället för $\displaystyle n-1$ för stickprovsdata.
Tolka standardavvikelse utan att beakta enheter och kontext.
Ignorera att standardavvikelse påverkas starkt av extremvärden.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra standardavvikelse

Viktigt att tänka på

Standardavvikelse har samma enhet som originaldata.
Jämför gärna relativ spridning med variationskoefficient vid olika skalor.
Kontrollera alltid om du arbetar med stickprov eller population.
Komplettera med robusta mått (median, IQR, MAD) vid outliers.
Tolka alltid resultaten i sammanhanget, inte enbart matematiskt.
Kombinera med visualiseringar som histogram eller lådagram.

Kvalitetskontroll

Sidan innehåller teori, formler, steg, exempel, FAQ, misstag och tips.
Interaktiv beräkning stödjer både stickprov ( $\displaystyle n-1$ ) och population (n).
Normalfördelningsdel med z-score och sannolikhet är inkluderad enligt Ma2-nivå.

Testa dig själv

Testa dig själv1/3

Vad mäter standardavvikelsen?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i statistik för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här