Kapitel 3: Statistik | Matematik 2

Bakgrund

I Ma2b/Ma2c fördjupar vi lägesmått, spridningsmått, normalfördelning och regression.

Teori

1. Lägesmått

Medelvärde, median och typvärde beskriver ett centralt läge.

\bar{x}=\frac{\sum_{i=\nobreak 1}^{n}x_i}{n}

2. Spridningsmått

\begin{gathered}\text{Variationsbredd}\\=x_{\max}-\nobreak x_{\min}\end{gathered}

s=\sqrt{\frac{\sum_{i=\nobreak 1}^{n}(x_i-\nobreak \bar{x})^2}{n-\nobreak 1}}

s^2=\frac{\sum_{i=\nobreak 1}^{n}(x_i-\nobreak \bar{x})^2}{n-\nobreak 1}

3. Normalfördelning

Symmetrisk kring medelvärdet.
$\displaystyle 68-95-99{,}7$ -regeln.
Medelvärde, median och typvärde sammanfaller.

z=\frac{x-\nobreak \mu}{\sigma}

4. Regression

y=\nobreak kx+\nobreak m

Korrelationskoefficienten r ligger mellan -1 och 1 och mäter linjärt samband.

Interaktivt statistiklabb

Lägesmått och spridning

Data: 3, 5, 2, 7, 5, 8, 5, 4, 6, 5

Medelvärde: 5

Median: 5

Typvärde: 5

Variationsbredd: 6

Standardavvikelse: 1,76

Varians: 3,11

Diagramval

Histogram, stapel, punktdiagram, lådagram.

Fördelning av tio observationer

Lodrät axel: Frekvens

22,753,54,2555,756,57,258012345

Vågrät axel: Värde

Rutlinjerna på x-axeln visar de markerade värdena. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: Frekvens per intervall

2 till under 2.75: 1 observationer
2.75 till under 3.5: 1 observationer
3.5 till under 4.25: 1 observationer
4.25 till under 5: 0 observationer
5 till under 5.75: 4 observationer
5.75 till under 6.5: 1 observationer
6.5 till under 7.25: 1 observationer
7.25 till och med 8: 1 observationer

Intervallen är lika breda och staplarna sitter ihop. Ett gränsvärde hör till intervallet som börjar där, utom det sista värdet som ingår i sista intervallet.

Normalfördelning

Exempel: längd med $\displaystyle \mu=175$ cm och $\displaystyle \sigma=7$ cm.

$\displaystyle \mu = 175$

$\displaystyle \sigma = 7$

$\displaystyle x = 185$

$\displaystyle z=\frac{x-\mu}{\sigma} \approx 1{,}4285714 \text{och} P(X>x) \approx 7{,}6563774 \%.$

Normalfördelning i standardiserad skala

Lodrät axel: Täthet

-4-202400,10,20,30,4

Vågrät axel: Standardiserat värde z

Rutlinjerna på x-axeln visar de markerade värdena. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 0,1.

Heldragen: Täthet för Z

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle x\approx1{,}42857$ .

\displaystyle Z=\frac{X-\mu}{\sigma}

. Här är

\displaystyle \mu=175,\quad\sigma=7

. Det skuggade området motsvarar de valda gränserna; gränser inom utsnittet markeras med lodräta linjer. Utsnittet visar fyra standardavvikelser åt varje håll, ungefär 99,994 procent av hela fördelningen.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Lägesmått och spridningsmått

Uppgift: Beräkna medelvärde, median, typvärde, variationsbredd och stickprovets standardavvikelse för 3; 5; 2; 7; 5; 8; 5; 4; 6; 5.

Exempel 2: Normalfördelning

Uppgift: Längden X antas normalfördelad med medelvärdet 175 cm och standardavvikelsen 7 cm. Beräkna sannolikheten att X är större än 185 cm.

Exempel 3: Linjär regression

Uppgift: Studietid (timmar) och provresultat (procent) är (2;65), (3;70), (4;80), (5;85), (6;90). Bestäm regressionslinjen och tolka lutning och korrelation.

Vanliga misstag

Förväxla population och urval.
Tolka korrelation som kausalitet.
Missförstå normalfördelning.
Övergeneralisera från små urval.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra statistik

Viktigt att tänka på när du arbetar med statistik

Granska datakälla och metod.
Var uppmärksam på urval, bias och osäkerhet.
Kontrollera antaganden innan metodval.
Extrapolera försiktigt i regression.
Tolka resultat i kontext.

Fördjupning för högre betyg

1. Hypotesprövning

Formulera H0/H1.
Välj signifikansnivå.
Beräkna testvärde.
Jämför med kritiskt värde/p-värde.
Dra slutsats.

2. Konfidensintervall

\bar{x}\pm\nobreak z\cdot\nobreak \frac{s}{\sqrt{n}}

3. Icke-linjär regression

Exponentiella/polynoma modeller kan användas vid icke-linjära samband.

4. Multivariat analys

Exempel: multipel regression, PCA och klusteranalys.

5. Bayesiansk statistik

Uppdaterar sannolikheter med ny information och tidigare kunskap.

Exempel på avancerad tillämpning

Konfidensintervall för andel

100 patienter, 60 förbättrade.

$\displaystyle p=\frac{60}{100}=0{,}60$
$\displaystyle SE=\sqrt{\frac{0{,}60\cdot0{,}40}{100}}=0{,}049$
$\displaystyle 0{,}60\pm1{,}96\cdot0{,}049=(0{,}504,\ 0{,}696)$

Tolkning: $\displaystyle 50{,}4 \%$ till $\displaystyle 69{,}6 \%$ .

Detta approximativa intervall för en andel förutsätter oberoende observationer med samma sannolikhet för förbättring och tillräckligt många förbättrade och icke förbättrade. Här är antalen 60 respektive 40, vilket gör normalapproximationen rimlig. Konfidensgraden beskriver metodens långsiktiga täckning av den sanna andelen.

Obs om tolkning av konfidensintervall

$\displaystyle 95 \%$ gäller metodens långsiktiga träffsäkerhet, inte sannolikheten för ett enskilt intervall.

Sammanfattning

Statistik i Ma2 kombinerar databeskrivning, inferens och modellering. Arbeta strukturerat och tolka alltid resultat kritiskt.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i statistik för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här