Gymnasiet

Ma2

Kapitel 4.2.4

Pythagoras sats och beviset

Pythagoras sats binder ihop längder i rätvinkliga trianglar och är en av de viktigaste satserna i hela geometrin. Här går vi igenom både satsen, beviset och hur du använder den i problemlösning.

På den här sidan

Bakgrund

Satsen används i geometri, trigonometri, koordinatsystem och tillämpade problem. I Ma2 behöver du både kunna räkna med satsen och motivera varför den stämmer.

Teori

Pythagoras sats

I en rätvinklig triangel med kateter a och b samt hypotenusa c gäller:

a^2+\nobreak b^2=\nobreak c^2

Viktigt: Satsen gäller bara i rätvinkliga trianglar. Hypotenusan är alltid sidan mittemot den räta vinkeln och därmed den längsta sidan.

abc

Bevis med areor (klassisk metod)

Vi bygger en stor kvadrat med sidan a+b och placerar fyra identiska rätvinkliga trianglar i hörnen. Då blir ytan i mitten en kvadrat med sidan c.

Stor kvadrats area: $\displaystyle (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .
Alternativ area: fyra trianglar + mittkvadrat: $\displaystyle 4\cdot (ab/2) + c^2 = 2ab + c^2$ .
Jämför uttrycken och förenkla:

a^2+\nobreak 2ab+\nobreak b^2=\nobreak 2ab+\nobreak c^2

a^2+\nobreak b^2=\nobreak c^2

Bevisidé

Samma figur kan beskrivas med två olika areauttryck. När dessa sätts lika får vi satsen.

Omvända Pythagoras sats

Om tre positiva sidlängder uppfyller $\displaystyle a^2+b^2=c^2$ (där $\displaystyle c$ är största sidan), då är triangeln rätvinklig.

Koppling till koordinatsystem

Avståndsformeln i koordinatsystemet kommer direkt från Pythagoras sats:

\begin{gathered}u=\nobreak x_2-\nobreak x_1\\v=\nobreak y_2-\nobreak y_1\\d=\sqrt{u^2+\nobreak v^2}\end{gathered}

Interaktiv övning

Längder, skalor och massor ska vara positiva. Koordinater och vektorkomponenter får även vara negativa eller noll. Talens absolutbelopp får vara högst 1 000 000 och minst 0,000001 när talet inte är noll. Triangelvinklar ska vara större än 0 och mindre än 180 grader.

1) Beräkna hypotenusan

Fyll i kateterna och testa ditt svar.

abDitt c

c=\sqrt{a^2+\nobreak b^2}

Rätt värde: 5

Bra! Ditt svar avviker högst 0,5 procent.

2) Beräkna okänd katet

Använd omformningen $\displaystyle b=\sqrt{c^2-a^2}$

c (hypotenusa)känd katet

Okänd katet ≈ 12

3) Är triangeln rätvinklig?

Testa med omvända Pythagoras sats.

s1s2s3

Sorterade sidor: 6, 8, 10

6^2+\nobreak 8^2\stackrel{?}{=\nobreak }10^2

Ja, triangeln är rätvinklig.

4) Avstånd i koordinatsystem

Direkt tillämpning av Pythagoras sats.

x1y1x2y2

\begin{gathered}u=\nobreak 6\\v=\nobreak 8\\d=\sqrt{u^2+\nobreak v^2}\\=\sqrt{100}\end{gathered}

Avstånd: 10

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: 3-4-5-triangeln

Uppgift: Beräkna hypotenusan när kateterna är 3 cm och 4 cm.

Exempel 2: Okänd katet

Uppgift: Hypotenusan är 13 cm och en katet är 5 cm. Beräkna den andra kateten.

Exempel 3: Avstånd mellan två punkter

Uppgift: Beräkna avståndet mellan punkterna (1; 2) och (7; 10).

Vanliga misstag

Använda satsen i en triangel som inte är rätvinklig.
Blanda ihop katet och hypotenusa (hypotenusan ska alltid vara längst).
Glömma kvadratroten i sista steget.
Räkna med negativa eller orimliga längder utan rimlighetskontroll.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra området

Viktigt att tänka på

Markera alltid vilken sida som är hypotenusan innan du räknar.
Visa hela mellanledet med kvadrater och roten i lösningar.
Gör rimlighetskontroll: hypotenusan måste bli större än varje katet.
Koppla till avståndsformeln för att stärka förståelsen inför senare kapitel.

Kvalitetskontroll

Full genomgång av satsen, klassiskt bevis, omvänd sats och koordinattillämpning.
Flera exempel med stegvis matematik i Ma2-nivå.
Interaktiv övning för hypotenusa, katet, rätvinklighetskontroll och avståndsformel.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i geometri för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här