Kapitel 3.1.3: Kvartiler och percentiler | Matematik 2

Bakgrund

Kvartiler och percentiler används för att förstå datans fördelning, jämföra dataset och identifiera utliggare i statistisk analys.

Teori

Kvartiler beräknas här som medianer av den nedre och övre halvan av sorterade värden. Vid udda antal lämnas mittvärdet utanför halvorna. För ett enda värde sammanfaller alla fem mått. Interpolerade percentiler använder en annan metod och kan ge andra gränsvärden.

Kvartiler

Kvartiler delar ordnad data i fyra lika stora delar: Q1, Q2 (median), Q3.

Q1: gräns för de lägsta $\displaystyle 25 \%$ .
Q2: median, $\displaystyle 50 \%$ .
Q3: gräns för de högsta $\displaystyle 25 \%$ .

Kvartilavstånd (IQR):

IQR=\nobreak Q3-\nobreak Q1

Beräkning av kvartiler

Sortera datan i stigande ordning.
Beräkna medianen Q2.
Q1 är medianen av nedre halvan. Vid udda antal lämnas det gemensamma mittvärdet utanför båda halvorna.
Q3 är medianen av övre halvan.

Exempel

Dataset: [1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11]

$\displaystyle Q_2 = 6$
Nedre halvan är [1; 3; 4; 5], med medianen $\displaystyle Q_1=\frac{3+4}{2}=3{,}5$
Övre halvan är [7; 8; 9; 11], med medianen $\displaystyle Q_3=\frac{8+9}{2}=8{,}5$
$\displaystyle IQR = 8{,}5 - 3{,}5 = 5$

Percentiler

Percentiler anger lägen i ordnad data. I ett litet material eller vid lika värden behöver inte exakt p procent ligga strikt under den p:e percentilen. Vi använder linjär interpolation på position $\displaystyle 1 + (n - 1)\frac{p}{100}$ .

Kvartiler som medianer av halvor behöver inte sammanfalla med interpolerade percentiler.
Den interpolerade 50:e percentilen är medianen.
Här används linjär interpolation mellan observationerna för percentiler.

Beräkning av percentiler

Sortera datan.
Beräkna index: $\displaystyle i=1+(n-1)\cdot\frac{p}{100}$ .
Heltal i: ta värdet på position i.
Annars: linjär interpolation mellan närmaste värden.

Vid en heltalsposition används observationen på den positionen direkt. Formeln nedan gäller annars mellan två intilliggande observationer; j är nedre positionen och alfa är andelen av steget.

\begin{gathered}j=\lfloor i\rfloor,\quad\allowbreak \alpha=\nobreak i-\nobreak j\\d=x_{j+\nobreak 1}-\nobreak x_j\\P_p=x_j+\nobreak \alpha d\end{gathered}

Interaktiv kvartil- och percentilanalys

Egen datamängd

Skriv 1-2000 tal med semikolon mellan talen. Använd kommatecken i decimaltal. Högst 1 000 000 i belopp.

Q1: 7

Q2 (median): 9,5

Q3: 15

IQR: 8

Nedre gräns: −5

Övre gräns: 27

Utliggare: Inga utliggare enligt 1,5·IQR-regeln

Percentil p

Använd positionen $\displaystyle i = 1 + (n - 1) \cdot \frac{p}{100}$ , med position 1 för första värdet.

Välj percentil (0-100)

$\displaystyle \text{Index} i = 6{,}4$

Percentil 60: 10,8

Lådagram för aktuell data

Lådagram på samma skala

Din datamängd

25,69,212,816,420

Strecket i lådan visar medianen. Lådans kanter visar undre och övre kvartilen. Morrhårens ändar visar yttersta värden utan utliggare. Separata punkter visar utliggare. Utan separat utliggarregel går morrhåren till minimum och maximum.

Din datamängd

Minimum: 2. Undre kvartil: 7. Median: 9,5. Övre kvartil: 15. Maximum: 20.

Nedre morrhår: 2. Övre morrhår: 20. Utliggare: inga.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Beräkning av kvartiler

Uppgift: Beräkna kvartiler och kvartilavstånd för 2; 4; 7; 8; 9; 10; 12; 15; 18; 20 med medianer av halvorna.

Exempel 2: Beräkning av percentil

Uppgift: Beräkna den interpolerade 60:e percentilen för 3; 7; 8; 9; 12; 15; 18; 20; 22; 25 med positionen $\displaystyle 1 + (n - 1)\frac{p}{100}$ .

Exempel 3: Tolkning av lådagram

Uppgift: Jämför centrum och spridning i de två lådagrammen nedan. Fem mått ges för varje klass och behöver inte räknas ut från rådata.

Lådagram på samma skala

Klass A

Klass B

3044587286100

Strecket i lådan visar medianen. Lådans kanter visar undre och övre kvartilen. Morrhårens ändar visar yttersta värden utan utliggare. Separata punkter visar utliggare. Utan separat utliggarregel går morrhåren till minimum och maximum.

Klass A

Minimum: 40. Undre kvartil: 50. Median: 60. Övre kvartil: 70. Maximum: 80.

Nedre morrhår: 40. Övre morrhår: 80. Utliggare: inga.

Klass B

Minimum: 30. Undre kvartil: 55. Median: 75. Övre kvartil: 85. Maximum: 100.

Nedre morrhår: 30. Övre morrhår: 100. Utliggare: inga.

Två klasser på matematikprov.

Vanliga misstag

Förväxla median med medelvärde.
Glömma att sortera datan före kvartil-/percentilberäkning.
Felhantera jämnt antal datapunkter.
Missförstå betydelsen av utliggare i lådagram.

Vanliga frågor

Utliggargränser

L och U betecknar nedre och övre gränsen för potentiella utliggare.

\begin{gathered}L=Q_1-\nobreak 1{,}5\cdot\nobreak IQR\\U=Q_3+1{,}5\cdot\nobreak IQR\end{gathered}

Tips för att bemästra kvartiler och percentiler

Viktigt att tänka på

Sortera alltid data före beräkning.
Lådagrammets låda visar de mittersta $\displaystyle 50 \% (IQR)$ .
Jämför både median och IQR mellan dataset.
Skilj sample-percentiler från populationspercentiler i tolkning.
Var försiktig med tolkning av små dataset.

Kvalitetskontroll

Sidan innehåller teori, formler, visualisering, tre exempel, FAQ, tips och fördjupning.
$\displaystyle 1{,}5\cdot IQR$ -regeln för utliggare är explicit.
Interaktiv beräkning av kvartiler, percentiler och lådagram är implementerad.

Testa dig själv

Testa dig själv1/3

Vad är IQR (kvartilavstandet)?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i statistik för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här