Kapitel 2.1.2: Kvadratkomplettering | Matematik 2

Bakgrund

Kvadratkomplettering är en kraftfull metod för att lösa kvadratiska ekvationer och förstå kvadratiska funktioners egenskaper. Metoden används både i Ma2b och Ma2c, särskilt när faktorisering är svår.

Teori

Idén är att skriva om en ekvation på formen $\displaystyle ax^2+bx+c=0$ som en perfekt kvadrat plus en konstant.

Steg för kvadratkomplettering

Se till att koefficienten framför $\displaystyle x^2$ är 1.
Flytta konstanttermen till höger sida.
Ta halva x-koefficienten och kvadrera den.
Addera detta tal på båda sidor.
Faktorisera vänsterledet till en perfekt kvadrat.
Lös med kvadratrotsmetoden.

Observera

Kvadratkomplettering fungerar för alla andragradsekvationer och är extra användbar när enkel faktorisering inte fungerar.

Exempel: kvadratkomplettering steg för steg

Uppgift: Lös $\displaystyle x^2+8x=25$ med kvadratkomplettering.

Tillämpningar av kvadratkomplettering

Bestämma vertex för en andragradsfunktion.
Omvandla till vertex-form.
Lösa ekvationer där faktorisering/pq-formel är mindre praktiska.

Fler exempel

Exempel 1: Heltalslösningar

Uppgift: Lös $\displaystyle x^2+4x-12=0$ .

Exempel 2: Bråk i mellansteg

Uppgift: Lös $\displaystyle x^2-5x+4=0$ .

Exempel 3: Koefficient framför x²

Uppgift: Lös $\displaystyle 2x^2-12x+10=0$ .

Exempel 4: Vertex med kvadratkomplettering

Uppgift: Skriv $\displaystyle f(x)=2x^2-8x+7$ i vertexform och bestäm vertex.

Exempel 5: Negativ koefficient framför x²

Uppgift: Lös $\displaystyle -3x^2+12x+15=0$ .

Interaktiv kvadratkomplettering

Justera a, b, c och följ stegen

Ekvation: $\displaystyle ax^2+bx+c=0$ . Du ser både kvadratkomplettering och vertex-form i realtid.

a = 2

b = -8

c = 7

\begin{gathered}x^2+\nobreak px+\nobreak q=\nobreak 0\\p=\frac{b}{a}=\nobreak -\nobreak 4\\q=\frac{c}{a}=\nobreak 3{,}5\end{gathered}

\begin{gathered}\left(\frac{p}{2}\right)^2=\nobreak 4\\\left(x+\nobreak \frac{p}{2}\right)^2=\nobreak 0{,}5\end{gathered}

\begin{gathered}x_1=1{,}29289\\x_2=2{,}70711\end{gathered}

\begin{gathered}f(x)=a(x-\nobreak h)^2+\nobreak k\\h=\nobreak 2\\k=\nobreak -\nobreak 1\end{gathered}

Sammanfattning och viktiga punkter

Viktigt att tänka på

Följ stegen konsekvent: normalisera, komplettera, faktorisera, lös.
Metoden ger djup förståelse för sambandet mellan koefficienter och lösningar.
Vertex-formen ger direkt information om parabelns extrempunkt.
Metoden fungerar även med bråk och negativa koefficienter.
Verifiera alltid lösningarna i originalekvationen.

Med kvadratkomplettering får du både ett robust verktyg för ekvationslösning och en tydlig koppling till grafisk tolkning av andragradsfunktioner.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här