Kapitel 2.1.3: PQ-formeln | Matematik 2

Bakgrund

PQ-formeln är en specialiserad metod i svensk gymnasiematematik för andragradsekvationer i normalformen x^2+px+q=0. Den ger rötterna direkt utan att du först måste faktorisera uttrycket.

Teori

Andragradsekvationer

\begin{gathered}ax^2+\nobreak bx+\nobreak c=\nobreak 0\\a\neq\nobreak 0\end{gathered}

PQ-formeln används när ekvationen är omskriven till:

x^2+\nobreak px+\nobreak q=\nobreak 0

PQ-formeln

x=-\nobreak \frac{p}{2}\pm\nobreak \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-\nobreak q}

\begin{gathered}x_1=-\nobreak \frac{p}{2}+\nobreak \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-\nobreak q}\\x_2=-\frac{p}{2}-\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-\nobreak q}\end{gathered}

Härledning av PQ-formeln

Börja med $\displaystyle ax^2+bx+c=0$ .
Dividera med $\displaystyle a$ : $\displaystyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$ .
Identifiera $\displaystyle p=\frac{b}{a}$ och $\displaystyle q=\frac{c}{a}$ .
Använd allmänna andragradsformeln och ersätt $\displaystyle b=ap,\ c=aq$ .
Förenkla till PQ-formeln.

Alternativt kan du kvadratkomplettera normalformen direkt. Addera halva p i kvadrat på båda sidor.

\begin{gathered}x^2+\nobreak px=\nobreak -\nobreak q\\\left(x+\nobreak \frac{p}{2}\right)^2=\frac{p^2}{4}-\nobreak q\\x=-\frac{p}{2}\pm\nobreak \sqrt{\frac{p^2}{4}-\nobreak q}\end{gathered}

Diskriminanten i PQ-form

D=\left(\frac{p}{2}\right)^2-\nobreak q

Om $\displaystyle D>0$ : två olika reella lösningar.
Om $\displaystyle D=0$ : en dubbel rot.
Om $\displaystyle D<0$ : inga reella lösningar.

Grafisk tolkning

Lösningarna är x-koordinaterna där parabeln $\displaystyle y=x^2+px+q$ skär x-axeln.

$\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$ , med $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=0$ och $\displaystyle c=-9$ .

Parabel med vertex och nollställen

Lodrät axel: y

−5−3−20135−10010

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 10.

Heldragen: $\displaystyle y=f(x)$

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle x=0$ .

Markerade punkter (ungefär):

Vertex: (0; −9)
Nollställe 1: (−3; 0)
Nollställe 2: (3; 0)

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Grundläggande PQ-formel

Uppgift: Lös $\displaystyle x^2+6x+8=0$ .

Exempel 2: Dubbel rot

Uppgift: Lös $\displaystyle x^2+4x+4=0$ .

Exempel 3: Inga reella lösningar

Uppgift: Undersök om $\displaystyle x^2+2x+5=0$ har några reella lösningar.

Exempel 4: Fysik, projektilrörelse

Uppgift: En boll har höjden $\displaystyle h(t)=-4{,}9t^2+20t+1{,}5$ meter, där $\displaystyle t$ är sekunder efter kastet. När är bollen på 10 meters höjd?

Exempel 5: Ekonomi, break-even

Uppgift: Intäkten är $\displaystyle 150x$ kronor och kostnaden $\displaystyle 50x+10\,000$ kronor för $\displaystyle x$ sålda enheter. Hur många enheter krävs för att intäkten ska bli lika stor som kostnaden?

Interaktiv PQ-analys

Justera p och q i x² + px + q = 0

Se diskriminant, symmetrilinje och lösningar direkt.

p = 6

q = 8

x^2+\nobreak 6x+\nobreak 8=\nobreak 0

D=\left(\frac{p}{2}\right)^2-\nobreak q=\nobreak 1

x=-\nobreak \frac{p}{2}=\nobreak -\nobreak 3

\begin{gathered}x_1=\nobreak -\nobreak 2\\x_2=\nobreak -\nobreak 4\end{gathered}

Vanliga misstag

Glömma att först skriva om till $\displaystyle x^2+px+q=0$ .
Fel tecken på $\displaystyle p$ eller $\displaystyle q$ .
Missar minustecken vid beräkning av diskriminanten.
Glömmer ± och tappar en lösning.
Tolkar $\displaystyle D<0$ fel som “felräkning” i stället för “inga reella lösningar”.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra PQ-formeln

Viktigt att tänka på

Förstå formeln: $\displaystyle -\frac{p}{2}$ är symmetrilinjen.
Identifiera snabbt $\displaystyle p$ och $\displaystyle q$ efter omskrivning.
Beräkna diskriminanten tidigt för att förutsäga lösningstyp.
Koppla alltid algebraisk lösning till grafisk tolkning.
Tolka svar i kontext vid textproblem (t.ex. tid, antal, längd).

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här