Gymnasiet
Ma2
Kapitel 2.1.1

Andragradsekvationer - Fördjupning

Fördjupning i ABC-formeln, diskriminanten, Viètes formler och avancerade tillämpningar av andragradsekvationer.

På den här sidan

ABC-formeln

ABC-formeln löser alla andragradsekvationer på formen ax2+bx+c=0\displaystyle ax^2+bx+c=0, där a≠0\displaystyle a\neq0.

x=−b±b2−4ac2ax=\frac{-\nobreak b\pm\nobreak \sqrt{b^2-\nobreak 4ac}}{2a}

Tecknet ±\displaystyle \pm betyder att du ska undersöka både plus och minus. Vid positiv diskriminant får du två olika reella lösningar, vid noll sammanfaller de och vid negativ diskriminant saknas reella lösningar.

Exempel: allmänna lösningsformeln

Uppgift: Lös 2x2−7x+3=0\displaystyle 2x^2-7x+3=0 med den allmänna lösningsformeln.

Diskriminanten

D=b2−4acD=\nobreak b^2-\nobreak 4ac
  • Om D>0\displaystyle D>0: två olika reella lösningar.
  • Om D=0\displaystyle D=0: en dubbel reell lösning.
  • Om D<0\displaystyle D<0: två komplexa lösningar (inga reella).

Observera

Diskriminanten ger snabbt antal och typ av lösningar utan att hela ekvationen behöver lösas.

Viètes formler

Om r1, r2\displaystyle r_1,\ r_2 är rötterna till ax2+bx+c=0\displaystyle ax^2+bx+c=0 gäller:

r1+r2=−bar1r2=ca\begin{gathered}r_1+\nobreak r_2=-\nobreak \frac{b}{a}\\r_1r_2=\frac{c}{a}\end{gathered}
  • Snabb beräkning av summa/produkt av rötter.
  • Kontroll av lösningar.
  • Konstruktion av andragradsekvationer från givna rötter.

Exempel: Viètes formler

Uppgift: Bestäm summan och produkten av rötterna till 2x2−5x−3=0\displaystyle 2x^2-5x-3=0 utan att först lösa ekvationen.

Grafisk representation

Grafen till f(x)=ax2+bx+c\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c är en parabel.

  1. Riktning: a>0\displaystyle a>0 uppåt, a<0\displaystyle a<0 nedåt.
  2. Symmetrilinje: x=−b2a\displaystyle x=-\frac{b}{2a}.
  3. Vertex: (−b2a, f(−b2a))\displaystyle \left(-\frac{b}{2a},\ f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right).
  4. y-intercept: (0,c)\displaystyle (0,c).
  5. x-intercept: rötterna till ekvationen.

f(x)=ax2+bx+c\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c, med a=1\displaystyle a=1, b=0\displaystyle b=0 och c=−4\displaystyle c=-4.

Parabel med vertex och nollställen
Lodrät axel: y
−3−2−10123−5−4−3−2−10123456

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

  • Heldragen: y=f(x)\displaystyle y=f(x)

Lodrät streckad hjälplinje: x=0\displaystyle x=0.

Markerade punkter (ungefär):

  • Vertex: (0; −4)
  • Nollställe 1: (−2; 0)
  • Nollställe 2: (2; 0)
  • Antalet x-intercept motsvarar antalet reella lösningar.
  • Tecknet på a\displaystyle a styr parabelns öppning.
  • Symmetrilinjen ger x-koordinaten för extremvärdet.

Tillämpningar och fördjupade koncept

Kvadratkomplettering

Metoden används för att skapa en perfekt kvadrat och är central för att härleda ABC-formeln och hitta vertex.

  • Härleda ABC-formeln.
  • Hitta vertex för en parabel.
  • Lösa vissa ekvationer utan direkt formelinsättning.

Exempel: kvadratkomplettering

Uppgift: Lös x2+6x−7=0\displaystyle x^2+6x-7=0 med kvadratkomplettering.

Parametriska andragradsekvationer

Parametrar kräver villkorsanalys med diskriminant och ibland Viètes formler.

Exempel: en dubbelrot

Uppgift: För vilka reella värden på k\displaystyle k har x2+kx+1=0\displaystyle x^2+kx+1=0 exakt en reell lösning?

Interaktiv ABC/Diskriminant/Viète-labb

Analysera valfri andragradsekvation

Ändra a, b, c och se lösningar, diskriminant och Viète-relationer i realtid.

a = 2

b = -7

c = 3

2x2−7x+3=02x^2-\nobreak 7x+\nobreak 3=\nobreak 0D=b2−4ac=25D=\nobreak b^2-\nobreak 4ac=\nobreak 25x1=0,5x2=3\begin{gathered}x_1=\nobreak 0{,}5\\x_2=\nobreak 3\end{gathered}

Jämför summan och produkten av de beräknade rötterna med Viètes formler. Avrundningen kan göra att de sista decimalerna skiljer sig.

x1+x2≈3,5−ba≈3,5x1x2≈1,5ca≈1,5\begin{gathered}x_1+\nobreak x_2\approx\nobreak 3{,}5\\-\nobreak \frac{b}{a}\approx\nobreak 3{,}5\\x_1x_2\approx\nobreak 1{,}5\\\frac{c}{a}\approx\nobreak 1{,}5\end{gathered}

Sammanfattning och tips

Viktigt att tänka på vid fördjupade andragradsekvationer

  • Välj lösningsmetod utifrån ekvationens form och problemets natur.
  • Använd diskriminanten för snabb klassificering av lösningar.
  • Använd Viètes formler för kontroll och slutsatser om rötter.
  • Visualisera gärna grafiskt för djupare förståelse.
  • Växla mellan standardform, faktorform och vertexform.
  • Var uppmärksam på specialfall som a=0\displaystyle a=0 och D=0\displaystyle D=0.
  • Träna parametriska uppgifter för ökad begreppsförståelse.
  • Koppla alltid algebraisk lösning till grafisk tolkning.

Avancerade tillämpningar

Optimering

Exempel: Inhägnad längs vägg

Uppgift: En rektangulär inhägnad byggs längs en vägg. Du har 100 m staket till de tre övriga sidorna. Vilka mått ger störst area?

Modellering i fysik

Exempel: Kastad boll

Uppgift: En bolls höjd i meter ges av h(t)=−4,9t2+20t+1,5\displaystyle h(t)=-4{,}9t^2+20t+1{,}5, där t\displaystyle t är sekunder efter kastet. När når bollen sin högsta höjd, och hur hög är den?

Utmanande problem

Problem 1

Visa att om r1, r2\displaystyle r_1,\ r_2 är rötter tillax2+bx+c=0\displaystyle ax^2+bx+c=0, så gäller1r1+1r2=−bc\displaystyle \frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}=-\frac{b}{c}, förutsatt c≠0\displaystyle c\neq0.

Tips: Använd Viètes formler och algebraiska omskrivningar.

Visa lösning steg för steg

Eftersom produkten av rötterna är c/a≠0\displaystyle c/a\neq0 är båda rötterna skilda från noll. Använd gemensam nämnare och sätt in Viètes formler.

1r1+1r2=r1+r2r1r2=−b/ac/a=−bc\begin{gathered}\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\\=\frac{r_1+\nobreak r_2}{r_1r_2}\\=\frac{-\nobreak b/a}{c/a}=-\nobreak \frac{b}{c}\end{gathered}

Problem 2

För vilka reella värden på k\displaystyle k harkx2−2(k+1)x+k+2=0\displaystyle kx^2-2(k+1)x+k+2=0 två olika positiva rötter?

Tips: Kombinera diskriminanten med Viètes villkor för positiva rötter.

Visa lösning steg för steg

När k=0\displaystyle k=0 är ekvationen linjär. För k≠0\displaystyle k\neq0 sätter vi u=x−1\displaystyle u=x-1, alltså x=u+1\displaystyle x=u+1. Sätt in och samla termer. Då får vi en produkt där minst en faktor måste vara noll.

ku2−2u=0u(ku−2)=0u=0 eller u=2kx1=1x2=1+2k\begin{gathered}ku^2-\nobreak 2u=\nobreak 0\\u(ku-\nobreak 2)=\nobreak 0\\u=\nobreak 0\ \text{eller}\ u=\frac{2}{k}\\x_1=\nobreak 1\\x_2=1+\nobreak \frac{2}{k}\end{gathered}

Rötterna är alltid olika för ändligt k≠0\displaystyle k\neq0. Den andra roten måste vara positiv. Det ger k>0\displaystyle k>0 eller k<−2\displaystyle k<-2. Vid k=−2\displaystyle k=-2 är den andra roten noll och räknas inte som positiv.

Vanliga frågor

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Aktivera JavaScript för att använda formulär och interaktiva verktyg. Sidans innehåll och länkar kan läsas utan JavaScript.