Bisektrissatsen
Bisektrissatsen kopplar ihop sidlängder och segment i en triangel när en vinkel halveras. Den används ofta i geometri, trigonometri och bevis.
På den här sidan
Bakgrund
Satsen beskriver förhållandet mellan segmenten på motstående sida och de två angränsande sidorna till den halverade vinkeln. Den ger ett effektivt verktyg för att beräkna okända sträckor.
Teori
Definition
Bisektrissatsen
I triangeln ABC, där bisektrisen från A skär BC i D, gäller:
Viktiga konsekvenser
- Bisektrisen delar motstående sida proportionellt mot de angränsande sidorna.
- Känner du tre av fyra längder i proportionen kan den fjärde beräknas.
- Satsen gäller i alla trianglar: spetsvinkliga, rätvinkliga och trubbvinkliga.
- Kan kombineras med Pythagoras, likformighet och trigonometriska samband.
Bevis med en parallell hjälplinje
Uppgift: Bevisa bisektrissatsen i triangeln ABC. AD halverar vinkeln A och D ligger på BC.
- Dra genom C en linje parallell med AD. Låt den skära förlängningen av BA bortom A i E.
- Parallelliteten och ger lika vinklar vid E och C i triangeln AEC. Alltså är .
- Trianglarna BDA och BCE är likformiga (VV), eftersom AD är parallell med CE. Därför gäller:
Sätt in och .
Korsmultiplicera och subtrahera den gemensamma produkten .
Interaktivt bisektrislabb
Längder, skalor och massor ska vara positiva. Koordinater och vektorkomponenter får även vara negativa eller noll. Talens absolutbelopp får vara högst 1 000 000 och minst 0,000001 när talet inte är noll. Triangelvinklar ska vara större än 0 och mindre än 180 grader.
1) Beräkna DC
DC = 4,5
2) Kontrollera proportion
Snabb kontroll av AD:DC via inmatade värden.
DC = AC - AD = 2,4
AD/DC = 1,0833
3) Fördjupningsuppgift (del 1)
AB=10, AC=8, BC=6
BD ≈ 3,333
DC ≈ 2,667
Exempel och tillämpningar
Exempel 1: Grundläggande tillämpning
Uppgift: I triangeln ABC är AD bisektris. AB = 8 cm, AC = 12 cm och BD = 3 cm. Beräkna DC.
Alltså är DC = 4,5 cm.
Exempel 2: Rätvinklig triangel
Uppgift: ABC är rätvinklig vid C, med AC = 5 cm och BC = 12 cm. Bisektrisen från B skär AC i D. Bestäm AD.
Alltså är AD ≈ 2,6 cm.
Exempel 3: Bevis i likbent triangel
Uppgift: Visa att bisektrisen från A delar basen BC i två lika delar när AB = AC.
- Om AB = AC och AD är bisektris i A gäller:
- Alltså BD = DC.
Bisektrisen delar därmed basen i två lika stora delar i en likbent triangel.
Vanliga misstag
- Förväxla bisektrissatsen med mediansatsen.
- Sätta upp proportionen i fel ordning.
- Anta att bisektrisen alltid delar sidan i två lika delar.
- Inte kontrollera att informationen i uppgiften räcker.
Vanliga frågor
Tips för att bemästra bisektrissatsen
Viktigt att tänka på
- Rita alltid en tydlig figur och märk ut alla kända längder.
- Behåll samma ordning i proportionens täljare/nämnare.
- Kombinera satsen med andra metoder när uppgiften är flerstegad.
- Utnyttja specialfallet likbent triangel när AB = AC.
- Gör alltid en rimlighetskontroll i slutet.
Övning för djupare förståelse
Uppgift: AB = 10 cm, AC = 8 cm, BC = 6 cm. Bisektrisen från A skär BC i D.
- Beräkna BD och DC.
- Beräkna AD.
- Beräkna arean av triangeln ABD.
Lösningsskiss
Del 1 fås direkt av bisektrissatsen. Del 2 och 3 kräver fler satser/formler (t.ex. area- och bisektrisformler). Kontrollera alltid resultaten med återinsättning och dimensionskontroll.
Testa att du förstått
Träna uppgifter i geometri för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.