Bevis med likformighet

1. Dra genom C en linje parallell med AD. Låt den skära förlängningen av BA bortom A i E.
2. Parallelliteten och $\displaystyle \angle BAD=\angle DAC$ ger lika vinklar vid E och C i triangeln AEC. Alltså är $\displaystyle AE=AC$.
3. Trianglarna BDA och BCE är likformiga (VV), eftersom AD är parallell med CE. Därför gäller:

Sätt in $\displaystyle BC=BD+DC$ och $\displaystyle BE=AB+AE=AB+AC$.

Korsmultiplicera och subtrahera den gemensamma produkten $\displaystyle AB\cdot BD$.

1. I rätvinklig triangel ABC, dra höjden från C till hypotenusan AB och kalla fotpunkten D.
2. Trianglarna ABC, ACD och BCD är parvis likformiga (AAA).
3. Från likformighet fås standardrelationerna $\displaystyle AC^2=AB\cdot AD$ och $\displaystyle BC^2=AB\cdot BD$.
4. Addera: $\displaystyle AC^2+BC^2=AB(AD+BD)=AB\cdot AB=AB^2$.
5. Alltså $\displaystyle a^2+b^2=c^2$.

1. Dra radien OA från medelpunkten O. Radierna OA, OB och OC är lika.
2. Trianglarna AOB och AOC är likbenta. Sätt $\displaystyle \angle BAO=\alpha$ och $\displaystyle \angle OAC=\beta$. Basvinklarna vid B och C är då också α respektive β.
3. Vinkelsumman i ABC ger $\displaystyle 2\alpha+2\beta=180^\circ$. Alltså är $\displaystyle \angle BAC=\alpha+\beta=90^\circ$.

I rätvinklig triangel med höjd CD mot hypotenusan AB gäller:

Detta fås genom likformighet mellan de tre trianglarna som bildas av höjden till hypotenusan.

Om den linjära skalfaktorn är k gäller för areor:

För volymer i 3D gäller analogt $\displaystyle V_2/V_1=k^3$.