Gymnasiet
Ma2
Kapitel 2.2.1

Andragradsfunktionens graf

Förstå parabeln från grunden: öppning, bredd, symmetrilinje, vertex, nollställen och tillämpningar.

På den här sidan

Bakgrund

Andragradsfunktioner är centrala i algebra och icke-linjära modeller. De används i naturvetenskap, teknik och ekonomi för att beskriva samband som inte är räta linjer.

Teori

Allmän form av andragradsfunktionen

f(x)=ax2+bx+ca≠0\begin{gathered}f(x)=ax^2+\nobreak bx+\nobreak c\\a\neq\nobreak 0\end{gathered}

Grafen till en andragradsfunktion kallas en parabel.

Parabelns form och riktning

  • Om a>0\displaystyle a>0 öppnar parabeln uppåt och har en minimipunkt.
  • Om a<0\displaystyle a<0 öppnar parabeln nedåt och har en maximipunkt.

Observera

Ju större ∣a∣\displaystyle |a| är, desto smalare parabel. Ju mindre ∣a∣\displaystyle |a| är, desto bredare parabel.

Tecknet framför andragradstermen
Lodrät axel: y
−3−2−10123−5−4−3−2−1012345

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

  • Heldragen: y=x2\displaystyle y=x^2
  • Streckad: y=−x2\displaystyle y=-x^2

Nollställen

Nollställena är x-värden där f(x)=0\displaystyle f(x)=0.

x=−b±b2−4ac2ax=\frac{-\nobreak b\pm\nobreak \sqrt{b^2-\nobreak 4ac}}{2a}

Symmetrilinje och vertex

x=−b2ax=-\nobreak \frac{b}{2a}xvertex=−b2ayvertex=f(xvertex)=−b2−4ac4a\begin{gathered}x_{vertex}=-\nobreak \frac{b}{2a}\\y_{vertex}=f(x_{vertex})\\=-\frac{b^2-\nobreak 4ac}{4a}\end{gathered}

f(x)=ax2+bx+c\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c, med a=1\displaystyle a=1, b=0\displaystyle b=0 och c=−4\displaystyle c=-4.

Symmetrilinje och vertex
Lodrät axel: y
−3−2−10123−5−4−3−2−10123456

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

  • Heldragen: y=f(x)\displaystyle y=f(x)

Lodrät streckad hjälplinje: x=0\displaystyle x=0.

Markerade punkter (ungefär):

  • Vertex: (0; −4)
  • Nollställe 1: (−2; 0)
  • Nollställe 2: (2; 0)

Y-skärning

Y-skärningen fås när x=0\displaystyle x=0, alltså punkten (0,c)\displaystyle (0,c).

Parabelns bredd (fördjupning)

Latus rectum är en sträcka genom parabelns fokus, parallell med x-axeln, med ändpunkter på parabeln. För y=a(x−h)2+k\displaystyle y=a(x-h)^2+k har den längden 1/∣a∣\displaystyle 1/|a| i koordinatsystemets längdenheter. Detta är frivillig fördjupning.

Andragradsfunktionen på faktorform

f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-\nobreak x_1)(x-\nobreak x_2)

Andragradsfunktionen på kvadratisk form

f(x)=a(x−h)2+kf(x)=a(x-\nobreak h)^2+\nobreak k

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Analysera funktionen

Uppgift: Bestäm öppningsriktning, vertex och nollställen för f(x)=2x2−4x−2\displaystyle f(x)=2x^2-4x-2.

Exempel 2: Konstruera en andragradsfunktion

Uppgift: Bestäm en andragradsfunktion med vertex (2;−3)\displaystyle (2;-3) vars graf går genom (4;5)\displaystyle (4;5).

Exempel 3: Tillämpning - projektilbana

Uppgift: En bolls höjd i meter är h(t)=−4,9t2+20t\displaystyle h(t)=-4{,}9t^2+20t, där t\displaystyle t är tiden i sekunder efter kastet. När når bollen sin högsta punkt, och när är den tillbaka på marken?

Interaktiv grafanalys

Utforska f(x)=ax²+bx+c

Justera koefficienterna och se parabelns form, vertex och nollställen direkt.

a = 2

b = -4

c = -2

f(x)=2x2−4x−2f(x)=2x^2-\nobreak 4x-\nobreak 2x=−b2a=1x=-\nobreak \frac{b}{2a}=\nobreak 1V=(1, −4)V=\nobreak (1,\ \allowbreak -\nobreak 4)Δ=32\Delta=\nobreak 32x1=−0,414214x2=2,41421\begin{gathered}x_1=-\nobreak 0{,}414214\\x_2=2{,}41421\end{gathered}

f(x)=ax2+bx+c\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c, med a=2\displaystyle a=2, b=−4\displaystyle b=-4 och c=−2\displaystyle c=-2.

Parabel med vertex och nollställen
Lodrät axel: y
−2−101234−5051015

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 5.

  • Heldragen: y=f(x)\displaystyle y=f(x)

Lodrät streckad hjälplinje: x=1\displaystyle x=1.

Markerade punkter (ungefär):

  • Vertex: (1; −4)
  • Nollställe 1: (−0,4142; 0)
  • Nollställe 2: (2,4142; 0)

Vanliga misstag

  • Förväxla a\displaystyle a och −a\displaystyle -a när riktningen bestäms.
  • Glömma att kontrollera om nollställena är reella.
  • Missförstå koefficienternas roller i olika former av funktionen.
  • Anta att symmetrilinjen alltid går genom origo.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra andragradsfunktioner och deras grafer

Viktigt att tänka på

  • Träna på hur a, b och c förändrar grafen.
  • Öva på att växla mellan allmän form, faktorform och kvadratisk form.
  • Använd symmetrilinjen som stöd för snabb och korrekt skiss.
  • Analysera diskriminanten tidigt för att bedöma nollställen.
  • Använd digitala verktyg för kontroll, inte som ersättning för förståelse.

Observera

Du utvecklar säkerhet genom att både räkna för hand och tolka grafer. Kombinationen av teori och många varierade övningar ger bäst resultat.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Aktivera JavaScript för att använda formulär och interaktiva verktyg. Sidans innehåll och länkar kan läsas utan JavaScript.