Kapitel 2.2: Andragradsfunktioner | Matematik 2

Bakgrund

Andragradsfunktioner beskriver icke-linjära samband och förekommer i många praktiska problem. De är en central del av Ma2.

Teori

Definition

\begin{gathered}f(x)=ax^2+\nobreak bx+\nobreak c\\a\neq\nobreak 0\end{gathered}

$\displaystyle a$ styr öppning och bredd, $\displaystyle b$ påverkar symmetriaxeln och $\displaystyle c$ är y-skärningen.

Grafisk representation

Symmetriaxel: vertikal linje genom vertex.
Vertex: högsta/lägsta punkt.
Nollställen: där $\displaystyle f(x)=0$ , alltså skärning med x-axeln.
Y-skärning: punkten $\displaystyle (0,c)$ .

$\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$ , med $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-4$ och $\displaystyle c=3$ .

Parabel med vertex och nollställen

Lodrät axel: y

01234−2−101234

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=f(x)$

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle x=2$ .

Markerade punkter (ungefär):

Vertex: (2; −1)
Nollställe 1: (1; 0)
Nollställe 2: (3; 0)

Viktiga formler

x=-\nobreak \frac{b}{2a}

\begin{gathered}x_v=-\nobreak \frac{b}{2a}\\y_v=f\left(-\nobreak \frac{b}{2a}\right)\\=-\nobreak \frac{\Delta}{4a}\end{gathered}

x=\frac{-\nobreak b\pm\nobreak \sqrt{b^2-\nobreak 4ac}}{2a}

Diskriminanten $\displaystyle \Delta=b^2-4ac$ avgör antal reella nollställen.

$\displaystyle \Delta>0$ : två nollställen
$\displaystyle \Delta=0$ : ett nollställe (tangent)
$\displaystyle \Delta<0$ : inga reella nollställen

Former av andragradsfunktioner

Allmän form: $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$
Faktorform: $\displaystyle f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$
Vertex-form: $\displaystyle f(x)=a(x-h)^2+k$

Transformationer

Vertikal förskjutning: ändra konstantterm.
Horisontell förskjutning: ersätt $\displaystyle x$ med $\displaystyle x-h$ .
I vertexformen $\displaystyle a(x-h)^2+k$ styr $\displaystyle |a|$ parabelns bredd när $\displaystyle h$ och $\displaystyle k$ hålls fasta.
Spegling i x-axeln: ersätt $\displaystyle f(x)$ med $\displaystyle -f(x)$ , alltså byt tecken på alla koefficienter i allmän form.

Tillämpningar

Projektilbanor i fysik
Kostnads- och vinstmodeller i ekonomi
Paraboliska former i arkitektur och optik

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Vertex och nollställen

Uppgift: Bestäm vertex, nollställen och grafens öppningsriktning för $\displaystyle f(x)=2x^2-12x+10$ .

Exempel 2: Projektilbana

Uppgift: En boll kastas från marken. Höjden $\displaystyle h(t)=-4{,}9t^2+20t$ anges i meter och tiden $\displaystyle t$ i sekunder. Bestäm högsta höjden och när bollen återvänder till marken.

Exempel 3: Ekonomisk tillämpning

Uppgift: Vinsten i kronor är $\displaystyle P(x)=-2x^2+120x-1000$ för $\displaystyle x$ sålda enheter. Vilken produktion ger störst vinst, och hur stor är vinsten?

Interaktiv parabelanalys

Justera a, b, c i f(x)=ax²+bx+c

Se parabelns form, vertex, diskriminant och nollställen i realtid.

a = 2

b = -12

c = 10

\begin{gathered}f(x)\\=2x^2-12x+10\end{gathered}

V=\nobreak (3,\ \allowbreak -\nobreak 8)

\Delta=\nobreak 64

y\text{-skärning}=\nobreak (0,10)

\begin{gathered}x_1=\nobreak 1\\x_2=\nobreak 5\end{gathered}

$\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$ , med $\displaystyle a=2$ , $\displaystyle b=-12$ och $\displaystyle c=10$ .

Parabel med vertex och nollställen

Lodrät axel: y

0123456−10−50510

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 5.

Heldragen: $\displaystyle y=f(x)$

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle x=3$ .

Markerade punkter (ungefär):

Vertex: (3; −8)
Nollställe 1: (1; 0)
Nollställe 2: (5; 0)

Vanliga misstag

Förväxla tecknet på $\displaystyle a$ med parabelns öppning.
Tro att y-skärningen är samma sak som vertex.
Feltolka diskriminanten och antal nollställen.
Underskatta hur storleken på koefficienterna påverkar grafens bredd/läge.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra andragradsfunktioner

Viktigt att tänka på

Koppla alltid algebraisk form till grafisk form.
Identifiera vertex, symmetriaxel och nollställen snabbt.
Studera hur koefficienter påverkar parabeln.
Tolka funktionens nyckelpunkter i praktiska sammanhang.
Öva på att växla mellan allmän form, faktorform och vertex-form.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här