Kapitel 2.2.2: Största och minsta värdet på en andragradsfunktion | Matematik 2

Bakgrund

Extremvärden för andragradsfunktioner är centrala i optimering inom fysik, ekonomi och ingenjörsvetenskap.

Teori

\begin{gathered}f(x)=ax^2+\nobreak bx+\nobreak c\\a\neq\nobreak 0\end{gathered}

Parabeln öppnar uppåt om $\displaystyle a>0$ och nedåt om $\displaystyle a<0$ .

Symmetrilinje

x=-\nobreak \frac{b}{2a}

Vertex

\begin{gathered}x_v=-\nobreak \frac{b}{2a}\\y_v=f\left(-\nobreak \frac{b}{2a}\right)\\=-\nobreak \frac{b^2}{4a}+\nobreak c\end{gathered}

Vertex är minimum om $\displaystyle a>0$ och maximum om $\displaystyle a<0$ .

Bestämma största och minsta värde

Identifiera $\displaystyle a,b,c$ .
Beräkna $\displaystyle x_v=-\frac{b}{2a}$ .
Beräkna $\displaystyle y_v=f(x_v)$ .
Avgör maximum/minimum med tecknet på $\displaystyle a$ .

Alternativ metod: Kvadratkomplettering

f(x)=a(x-\nobreak h)^2+\nobreak k

I formen ovan är vertex direkt $\displaystyle (h,k)$ .

Fördjupning: diskriminanten och rötter

D=\nobreak b^2-\nobreak 4ac

$\displaystyle D>0$ : två skärningar med x-axeln.
$\displaystyle D=0$ : en tangentpunkt.
$\displaystyle D<0$ : ingen skärning med x-axeln.

x=\frac{-\nobreak b\pm\nobreak \sqrt{b^2-\nobreak 4ac}}{2a}

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Grundläggande beräkning av vertex

Uppgift: Bestäm det minsta värdet för $\displaystyle f(x)=2x^2-8x+7$ och vilket $\displaystyle x$ -värde som ger det.

Exempel 2: Kvadratkomplettering

Uppgift: Kvadratkomplettera $\displaystyle f(x)=x^2+6x-2$ och bestäm funktionens minsta värde.

Exempel 3: Praktisk tillämpning

Uppgift: En boll har höjden $\displaystyle h(t)=-4{,}9t^2+20t+1{,}5$ meter efter $\displaystyle t$ sekunder. Bestäm den högsta höjden och tidpunkten för den.

Exempel 4: Analys av rötter

Uppgift: Bestäm nollställena och minimipunkten för $\displaystyle f(x)=x^2-4x+3$ .

Interaktiv max/min-analys

Utforska extremvärdet för f(x)=ax²+bx+c

Justera a, b, c och se direkt om funktionen har maximum eller minimum.

a = 2

b = -8

c = 7

f(x)=2x^2-\nobreak 8x+\nobreak 7

\begin{gathered}x_v=\nobreak 2\\y_v=\nobreak -\nobreak 1\end{gathered}

D=\nobreak 8

\begin{gathered}x_1=1{,}29289\\x_2=2{,}70711\end{gathered}

Tolkning

Eftersom a > 0 är vertex ett minimum. Minsta värde är −1.

$\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$ , med $\displaystyle a=2$ , $\displaystyle b=-8$ och $\displaystyle c=7$ .

Parabel med vertex och nollställen

Lodrät axel: y

01234−2−1012345678

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=f(x)$

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle x=2$ .

Markerade punkter (ungefär):

Vertex: (2; −1)
Nollställe 1: (1,2929; 0)
Nollställe 2: (2,7071; 0)

Vanliga misstag

Förväxla maximum och minimum när tecknet på $\displaystyle a$ byter.
Glömma att först kontrollera om $\displaystyle a$ är positiv eller negativ.
Räknefel i symmetrilinjen $\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$ .
Misstolka diskriminanten vid analys av rötter.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra största och minsta värdet

Viktigt att tänka på

Analysera tecknet på a först.
Använd symmetrilinjen för kontroll av vertex.
Tolka resultat i kontext i textproblem.
Öva snabb identifiering av a, b, c.
Känn igen specialfall som b = 0 och perfekta kvadrater.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här