Matematiska bevis

Lösning

1. Steg 1. Implikationen är sann: sätt in $\displaystyle x=3$.

   $$3^2=\nobreak 9$$

2. Steg 2. Den omvända implikationen är falsk. Motexempel:

   $$x=\nobreak -\nobreak 3\ \Rightarrow\ x^2=\nobreak 9\ \text{men}\ x\neq\nobreak 3$$

Svar: Implikationen gäller men inte ekvivalensen. Rätt ekvivalens är $\displaystyle x^2=9\Leftrightarrow x=\pm3$.

Lösning

1. Steg 1. Låt talen vara $\displaystyle n$ och $\displaystyle n+1$. Ett av dem är jämnt, eftersom vartannat heltal är jämnt.

2. Steg 2. Om $\displaystyle n$ är jämnt är $\displaystyle n=2k$ för ett heltal $\displaystyle k$. Då är produkten

   $$n(n+\nobreak 1)=\nobreak 2k(n+\nobreak 1)$$

3. Steg 3. Om $\displaystyle n+1$ är jämnt är $\displaystyle n+1=2k$, och produkten är

   $$n(n+\nobreak 1)=\nobreak 2kn$$

Svar: I båda fallen är produkten 2 gånger ett heltal, alltså jämn.