Kapitel 3.2.2: Vad är normalfördelat material? | Matematik 2

Bakgrund

Normalfördelningen (Gaussfördelningen) beskriver många naturliga fenomen och används inom biologi, psykologi, ekonomi och ingenjörsvetenskap.

Teori

En normalfördelning bestäms av två parametrar: medelvärdet μ och standardavvikelsen σ.

f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\nobreak \frac{1}{2}\left(\frac{x-\nobreak \mu}{\sigma}\right)^2}

Kurvan är symmetrisk kring μ.
Den är klockformad med högst punkt vid μ.
Kurvan är asymptotisk mot x-axeln.
Empiriregeln: cirka $\displaystyle 68 \%$ , $\displaystyle 95 \%$ och $\displaystyle 99{,}7 \%$ inom ±1σ, ±2σ respektive ±3σ.

Standardisering (z-transformering)

Z=\frac{X-\nobreak \mu}{\sigma}

z-värden gör att du kan jämföra observationer från olika normalfördelningar.

Interaktiv analys: är materialet ungefär normalfördelat?

Egen datamängd

Skriv 1-2000 tal separerade med semikolon. Använd kommatecken i decimaltal. Högst 1 000 000 i belopp. Verktyget gör en indikativ normalitetsbedömning.

Antal n: 17

Medelvärde μ̂: 172,588

Median: 173

Standardavvikelse s: 7,366

Skevhet: −0,142

Kurtosis: 2,528

Andel inom ±1σ: 64,7 % (mål $\displaystyle 68 \%$ )

Andel inom ±2σ: 100 % (mål $\displaystyle 95 \%$ )

Andel inom ±3σ: 100 % (mål $\displaystyle 99{,}7 \%$ )

Bedömning

Måtten är förenliga med ungefärlig normalfördelning. Detta är en ledtråd, inte ett statistiskt normalitetstest eller ett bevis.

Histogram (översikt)

Histogram över inmatade observationer

Lodrät axel: Frekvens

158161,5165168,5172175,5179182,5186012345

Vågrät axel: Värde

Rutlinjerna på x-axeln visar de markerade värdena. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: Frekvens per intervall

158 till under 161.5: 1 observationer
161.5 till under 165: 1 observationer
165 till under 168.5: 3 observationer
168.5 till under 172: 2 observationer
172 till under 175.5: 4 observationer
175.5 till under 179: 3 observationer
179 till under 182.5: 1 observationer
182.5 till och med 186: 2 observationer

Intervallen är lika breda och staplarna sitter ihop. Ett gränsvärde hör till intervallet som börjar där, utom det sista värdet som ingår i sista intervallet.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: IQ-poäng

Uppgift: IQ-poäng modelleras som normalfördelade med medelvärdet 100 och standardavvikelsen 15. Beräkna andelen över 130 poäng.

IQ-värde

$\displaystyle z = 2$

$\displaystyle P(\text{IQ} > 130 ) \approx 2{,}2750063 \%$

Vid $\displaystyle IQ = 130$ får vi $\displaystyle z = 2$ och sannolikheten ≈ $\displaystyle 2{,}28 \%$ .

Normalfördelning i standardiserad skala

Lodrät axel: Täthet

-4-202400,10,20,30,4

Vågrät axel: Standardiserat värde z

Rutlinjerna på x-axeln visar de markerade värdena. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 0,1.

Heldragen: Täthet för Z

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle x=2$ .

\displaystyle Z=\frac{X-\mu}{\sigma}

. Här är

\displaystyle \mu=100,\quad\sigma=15

. Det skuggade området motsvarar de valda gränserna; gränser inom utsnittet markeras med lodräta linjer. Utsnittet visar fyra standardavvikelser åt varje håll, ungefär 99,994 procent av hela fördelningen.

Exempel 2: Produktionskvalitet

Uppgift: Diametern modelleras som normalfördelad med medelvärdet 10 mm och standardavvikelsen 0,1 mm. Beräkna andelen utanför toleransen $\displaystyle 9{,}8-10{,}2$ mm.

Nedre gräns (mm)Övre gräns (mm)

$\displaystyle z _{lower} = -2 , z _{upper} = 2$

$\displaystyle \text{Defekt} \text{andel} \approx 4{,}5500126 \%$

För 9,8 till 10,2 mm blir andelen ≈ $\displaystyle 4{,}56 \%$ .

Exempel 3: $\displaystyle 95 \%$ konfidensintervall

Uppgift: Ett stickprov med 100 observationer har medelvärdet 175 cm. Använd känd populationsstandardavvikelse 7 cm för ett 95-procentigt konfidensintervall.

Stickprovsmedel x̄Standardavvikelse σn

$\displaystyle SE = 0{,}7 , \text{marginal} = 1{,}372$

$\displaystyle 95 \%$ KI: (173,63, 176,37)

Intervallet förutsätter känd populationsstandardavvikelse, eller är en normalapproximation för ett stort oberoende stickprov. Om standardavvikelsen skattas från ett litet stickprov behövs normalt ett t-intervall. Konfidensgraden gäller metodens långsiktiga täckning, inte en sannolikhet för det redan beräknade intervallet.

Vanliga misstag

Anta normalfördelning utan att kontrollera data.
Förväxla varians och standardavvikelse.
Glömma z-standardisering när olika fördelningar jämförs.
Misstolka sannolikhet i fördelningens svansar.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra normalfördelningen

Viktigt att tänka på

Visualisera alltid z-värden på kurvan.
Träna på att växla mellan rådata och z-värden.
Använd digitala verktyg, men kontrollera rimligheten själv.
Knyt normalfördelning till verkliga exempel.
Var kritisk: alla data är inte normalfördelade.
Tolka statistik i artiklar med fokus på antaganden.
Utforska koppling till t-fördelning och chi-två-fördelning.

Fördjupning för högre betyg

Centrala gränsvärdessatsen

Medelvärdet av många oberoende variabler blir approximativt normalfördelat, även om ursprungsfördelningen inte är normal.

Observationer bör vara oberoende.
Variablerna antas komma från samma fördelning.
Fördelningen ska ha ändligt medelvärde och varians.
Praktiskt används ofta tumregeln n > 30.

Multivariat normalfördelning

För flera korrelerade variabler används multivariat normalfördelning med medelvärdesvektor och kovariansmatris.

Frivillig fördjupning: x och mu är vektorer, och kovariansmatrisen Sigma måste vara positivt definit. C är en normaliseringskonstant och q mäter ett kvadratiskt avstånd.

\begin{gathered}C=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}|\Sigma|^{1/2}}\\v=\nobreak x-\nobreak \mu\\q(x)=v^T\Sigma^{-\nobreak 1}v\\f_X(x)=C\exp\left(-\frac{q(x)}{2}\right)\end{gathered}

Normalfördelning och MLE

\begin{gathered}\hat{\mu}_{MLE}=\frac{1}{n}\sum_{i=\nobreak 1}^{n}x_i\\D=\sum_{i=\nobreak 1}^{n}(x_i-\hat{\mu})^2\\\hat{\sigma}^2_{MLE}=\frac{D}{n}\end{gathered}

Slutsats

Normalfördelningen är en grundpelare i statistik. Behärskar du normalfördelat material blir inferens, hypotesprövning och dataanalys betydligt mer träffsäkra.

Kvalitetskontroll

Sidan innehåller teori, egenskaper, exempel, FAQ, tips och fördjupning.
Interaktiv normalitetsbedömning tillagd för att avgöra om material är ungefär normalfördelat.
Samtliga huvudformler är inkluderade och renderas via LaTeX.

Testa dig själv

Testa dig själv1/3

Vilket är det viktigaste kriteriet för att bedoma om data är normalfördelad?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i statistik för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här