Gymnasiet
Ma2
Kapitel 1.2.3

Substitutionsmetoden

En kraftfull metod där en variabel uttrycks i termer av en annan och ersätts i nästa ekvation.

På den här sidan

Bakgrund

Substitutionsmetoden är särskilt användbar när en variabel enkelt kan isoleras. Metoden fungerar för två eller fler ekvationer, men blir mer tidskrävande när antalet variabler ökar.

Teori

Ett linjärt system med två variabler:

{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{cases}a_1x+\nobreak b_1y=\nobreak c_1\\a_2x+\nobreak b_2y=\nobreak c_2\end{cases}
  1. Välj en ekvation och lös ut en variabel.
  2. Substituera uttrycket i den andra ekvationen.
  3. Lös den resulterande envariabel-ekvationen.
  4. Back-substituera för att få den andra variabeln.
  5. Kontrollera i båda originalekvationerna.

Exempel och tillämpningar

Exempel 3: Ekonomisk tillämpning

Uppgift: En kund köper 12 varor: pennor för 5 kr styck och anteckningsböcker för 15 kr styck. Totalt betalar kunden 120 kr. Hur många av varje vara köper kunden?

Exempel 4: Fysikalisk tillämpning

Uppgift: Två cyklister startar samtidigt 180 km från varandra och cyklar mot varandra med 20 respektive 15 km/h. När möts de och hur långt har den första cyklat?

Interaktiv substitution

Träna metodval och utlösning

Välj system och vilken variabel som ska lösas ut i vilken ekvation.

a1: 1

b1: 2

c1: 5

a2: 3

b2: -1

c2: 1

{1x+(2)y=53x+(−1)y=1\begin{cases}1x+\nobreak (2)y=\nobreak 5\\3x+\nobreak (-\nobreak 1)y=\nobreak 1\end{cases}
x=5−(2)y1x=\frac{5-\nobreak (2)y}{1}

Lösningstyp

Unik lösning: (x,y)=(1,2)\displaystyle (x,y)=(1,2).

Vanliga misstag

  • Fel vid algebraisk manipulation när en variabel löses ut.
  • Glömma att substituera uttrycket i rätt ekvation.
  • Fel hantering av negativa tal eller bråk under substitution.
  • Förenklingsfel efter substitution.
  • Glömma kontroll i båda originalekvationerna.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra substitutionsmetoden

Viktigt att tänka på

  • Välj enklaste ekvation att lösa ut ifrån.
  • Var konsekvent med tecken och variabelordning.
  • Kontrollera alltid lösningen i båda originalekvationerna.
  • Identifiera när substitution är bättre än elimination.
  • Tolka gärna resultatet geometriskt som en skärningspunkt.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Aktivera JavaScript för att använda formulär och interaktiva verktyg. Sidans innehåll och länkar kan läsas utan JavaScript.