Kapitel 1.2.2: Additionsmetoden | Matematik 2

Bakgrund

Additionsmetoden är en kraftfull teknik för system med två obekanta. Idén är att skapa motsatta koefficienter för en variabel, addera ekvationerna och lösa det enklare system som uppstår.

Teori

Ett linjärt ekvationssystem med två obekanta kan skrivas:

\begin{cases}a_1x+\nobreak b_1y=\nobreak c_1\\a_2x+\nobreak b_2y=\nobreak c_2\end{cases}

där $\displaystyle a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2$ är konstanter och $\displaystyle x,y$ är obekanta.

Skala en eller båda ekvationerna så att en variabel får motsatta koefficienter.
Addera ekvationerna och eliminera variabeln.
Lös den återstående variabeln.
Sätt in i en ursprunglig ekvation och lös den andra variabeln.
Kontrollera i båda ursprungliga ekvationerna.

Visualisering av additionsmetoden

Exempel: $\displaystyle 2x+y=5$ och $\displaystyle x-y=1$ .

Skärningspunkten löser systemet

Lodrät axel: y

−5−2015−8−7−6−5−4−3−2−1012345678

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: Linje 1
Streckad: Linje 2

Blå och röd linje representerar de två ekvationerna. Skärningspunkten är lösningen där båda uppfylls.

Exempel på additionsmetoden

Uppgift

Uppgift: Lös systemet $\displaystyle 2x+y=5,\ x-y=1$ .

Specialfall och utmaningar

Ingen lösning: parallella linjer, t.ex. $\displaystyle 2x+y=5,\ 2x+y=7$ ger $\displaystyle 0=2$ .
Oändligt många lösningar: samma linje, t.ex. $\displaystyle 2x+y=5,\ 4x+2y=10$ .
Unik lösning: linjerna skär i exakt en punkt.

Ingen lösning

Två parallella linjer med samma lutning och olika intercept.

Oändligt många

Ekvationerna är proportionella och beskriver samma linje.

Unik lösning

Linjerna skär varandra i en punkt.

Interaktiv elimination

Bygg additionssteget själv

Välj system, skalfaktorer och se om vald variabel verkligen elimineras.

a1: 2

b1: 1

c1: 5

a2: 1

b2: -1

c2: 1

\begin{cases}2x+\nobreak (1)y=\nobreak 5\\1x+\nobreak (-\nobreak 1)y=\nobreak 1\end{cases}

Skalfaktor m1: 1

Skalfaktor m2: 1

\begin{gathered}\text{Första ekvationen}\\\text{gånger }1\\2x+(1)y\\=\nobreak 5\\\text{Andra ekvationen}\\\text{gånger }1\\1x+(−1)y\\=\nobreak 1\end{gathered}

3x+\nobreak (0)y=\nobreak 6

Bra elimination

Vald variabel är eliminerad. Nu kan du lösa den återstående ekvationen och back-substituera.

Systemets lösningstyp

Unik lösning: $\displaystyle (x,y)=(2,1)$ .

Aktuellt ekvationssystem

Lodrät axel: y

−4−1026−3−2−101234567

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: Ekvation 1
Streckad: Ekvation 2

Vanliga misstag

Glömma att multiplicera hela ekvationen vid skalning.
Felaktig addition/subtraktion av termer.
Misstolka $\displaystyle 0=0$ (oändligt många) och $\displaystyle 0=2$ (ingen lösning).
Inte kontrollera svaret i båda ursprungliga ekvationerna.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra additionsmetoden

Viktigt att tänka på

Välj den variabel som kräver minst arbete att eliminera.
Håll ordning på tecken när du multiplicerar med negativa tal.
Skriv variabler i samma ordning i båda raderna innan addition.
Välj den enklaste ursprungsekvationen vid back-substitution.
Verifiera alltid i båda originalekvationerna.

Fördjupning: Additionsmetoden i högre dimensioner

Metoden kan utökas till tre variabler. Exempel:

\begin{cases}x+\nobreak y+\nobreak z=\nobreak 6\\2x-\nobreak y+\nobreak z=\nobreak 4\\x+\nobreak 2y-\nobreak z=\nobreak 3\end{cases}

$\displaystyle (2)-(1):\ x-2y=-2$
$\displaystyle (3)-(1):\ y-2z=-3$
Från första nya ekvationen: $\displaystyle x=2y-2$ .
Sätt in i $\displaystyle x+y+z=6$ : $\displaystyle 3y+z=8$ .
Lös systemet $\displaystyle \begin{cases}3y+z=8\\y-2z=-3\end{cases}$ och få $\displaystyle z=\frac{17}{7},\ y=\frac{13}{7}$ .
Beräkna $\displaystyle x=2y-2=\frac{12}{7}$ .

x=\frac{12}{7},\ \allowbreak y=\frac{13}{7},\ \allowbreak z=\frac{17}{7}

\begin{align}\frac{12}{7}+\frac{13}{7}+\frac{17}{7}&=\nobreak 6\ \checkmark\\2\cdot\nobreak \frac{12}{7}-\frac{13}{7}+\frac{17}{7}&=\nobreak 4\ \checkmark\\\frac{12}{7}+2\cdot\nobreak \frac{13}{7}-\frac{17}{7}&=\nobreak 3\ \checkmark\end{align}

Sammanfattning

Additionsmetoden bygger på att skapa och utnyttja motsatta koefficienter. Med god teckenkontroll, tydlig struktur och obligatorisk kontroll i originalekvationerna får du en robust metod för linjära system i både matematik och tillämpningar.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här