Kapitel 3.2.4: Problemlösning inom normalfördelning | Matematik 2

Bakgrund

Normalfördelningen används i många statistikproblem och är central för sannolikhetsberäkningar och inferens.

Teori

Definition

En normalfördelning beskrivs av medelvärdet μ och standardavvikelsen σ.

f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\nobreak \frac{1}{2}\left(\frac{x-\nobreak \mu}{\sigma}\right)^2}

Egenskaper

Symmetri kring medelvärdet.
Medelvärde, median och typvärde sammanfaller.
$\displaystyle 68-95-99{,}7$ -regeln.
Total area under kurvan är 1.

Standardisering och z-värden

z=\frac{x-\nobreak \mu}{\sigma}

Problemlösning följer ofta: identifiera $\displaystyle \mu/\sigma$ , standardisera, läs av sannolikhet, tolka i kontext.

Viktigt att tänka på

Kontrollera alltid om frågan gäller under, över eller mellan två gränser och använd rätt area under kurvan.

Interaktiv problemlösning

Under / Över / Mellan

Generaliserad kalkylator med valfria gränser.

μσx_lowerx_upper

$\displaystyle z _{lower} = -1{,}4285714 , z _{upper} = 1{,}4285714$

$\displaystyle P(X < 165 ) = 7{,}6563775 \%$

$\displaystyle P(X > 185 ) = 7{,}6563775 \%$

$\displaystyle P( 165 < X < 185 ) = 84{,}687245 \%$

Normalfördelning i standardiserad skala

Lodrät axel: Täthet

-4-202400,10,20,30,4

Vågrät axel: Standardiserat värde z

Rutlinjerna på x-axeln visar de markerade värdena. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 0,1.

Heldragen: Täthet för Z

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle x\approx-1{,}42857$ .

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle x\approx1{,}42857$ .

\displaystyle Z=\frac{X-\mu}{\sigma}

. Här är

\displaystyle \mu=175,\quad\sigma=7

. Det skuggade området motsvarar de valda gränserna; gränser inom utsnittet markeras med lodräta linjer. Utsnittet visar fyra standardavvikelser åt varje håll, ungefär 99,994 procent av hela fördelningen.

Percentilverktyg

Hitta värde för given percentil.

Percentil (%)

$\displaystyle z _{p} \approx 1{,}281552$

$\displaystyle x _{p} \approx 183{,}97086$

Tolkning: cirka 90 % av värdena ligger under x_p.

Binomial -> normal

Normalapproximation med kontinuitetskorrektion. Minst 10 förväntade lyckade och 10 misslyckade försök behövs för den här tumregeln.

npminst k

$\displaystyle \mu = np = 50 , \sigma = \sqrt{np(1-p)} = 5$

$\displaystyle \text{Kontinuitetskorrektion}: z = ((k - 0{,}5) - \mu)/\sigma = 1{,}9$

P(X ≥ 60) ≈ 2,87 %

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Kortare än 165 cm

Uppgift: Längder antas normalfördelade med medelvärdet 175 cm och standardavvikelsen 7 cm. Beräkna andelen under 165 cm.

Exempel 2: Tyngre än 80 kg

Uppgift: Vikter antas normalfördelade med medelvärdet 65 kg och standardavvikelsen 10 kg. Beräkna andelen över 80 kg.

Exempel 3: IQ mellan 110 och 130

Uppgift: IQ antas normalfördelat med medelvärdet 100 och standardavvikelsen 15. Beräkna sannolikheten för 110 till 130 poäng.

Exempel 4: 90:e percentilen

Uppgift: Födelsevikt modelleras som normalfördelad med medelvärdet 3400 g och standardavvikelsen 450 g. Bestäm den 90:e percentilen.

Exempel 5: Normalapproximation av binomialfördelning

Uppgift: En rättvis slant kastas 100 gånger, oberoende. Uppskatta sannolikheten för minst 60 kronor genom normalapproximation med kontinuitetskorrektion.

Vanliga misstag

Glömma standardisering till z-värden.
Feltolka tabellens vänsterarea som högerarea.
Glömma kontinuitetskorrektion vid normalapproximation av diskreta data.
Tro att sannolikheten för ett exakt värde i kontinuerlig fördelning är större än 0.

Vanliga frågor

Tips för problemlösning inom normalfördelning

Viktiga saker att tänka på

Skissa alltid kurvan och markera relevanta områden.
Var konsekvent med enheter i hela lösningen.
Använd kontinuitetskorrektion vid diskret -> kontinuerlig approximation.
Digitala verktyg är stöd, men kontrollera rimligheten själv.
Exaktvärde i kontinuerlig fördelning har sannolikhet 0.
Tolkningsfasen är lika viktig som beräkningsfasen.

Kvalitetskontroll

Sidan innehåller teori, arbetsgång, fem exempel, misstag, FAQ och tips.
Interaktiv problemlösning finns för under/över/mellan, percentiler och normalapproximation.
Kontinuitetskorrektion och tolkning i kontext ingår explicit.

Testa dig själv

Testa dig själv1/3

För att beräkna $\displaystyle P(X < 75)$ när medel = 80 och $\displaystyle s = 10$ , vad är första steget?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i statistik för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här