Kapitel 1.3.2: Kvadreringsreglerna | Matematik 2

Bakgrund

Kvadreringsreglerna är fundamentala algebraiska verktyg för kvadratiska uttryck. De används i algebra, geometri och vidare studier och gör det möjligt att förenkla uttryck effektivt.

Teori

De tre huvudreglerna är:

1. Första kvadreringsregeln: $\displaystyle (a+b)^2$

(a+\nobreak b)^2=a^2+\nobreak 2ab+\nobreak b^2

Kvadraten av en summa.

2. Andra kvadreringsregeln: $\displaystyle (a-b)^2$

(a-\nobreak b)^2=a^2-\nobreak 2ab+\nobreak b^2

Kvadraten av en differens.

3. Tredje kvadreringsregeln (konjugatregeln): ( $\displaystyle a+b$ )( $\displaystyle a-b$ )

(a+\nobreak b)(a-\nobreak b)=\nobreak a^2-\nobreak b^2

Produkten av summa och differens.

Viktigt att notera

Skillnaden mellan $\displaystyle (a+b)^2$ och $\displaystyle (a-b)^2$ ligger i mittentermen: $\displaystyle +2ab$ respektive $\displaystyle -2ab$ .

Geometrisk tolkning

$\displaystyle (a+b)^2$ kan visualiseras som summan av areorna $\displaystyle a^2+ab+ab+b^2$ .

a²ababb²(a+b)²

Algebraisk härledning

För $\displaystyle (a+b)^2$ :

\begin{gathered}(a+\nobreak b)^2\\=(a+\nobreak b)(a+\nobreak b)\\=a(a+\nobreak b)+\nobreak b(a+\nobreak b)\\=a^2+\nobreak ab+\nobreak ba+\nobreak b^2\\=a^2+\nobreak 2ab+\nobreak b^2\end{gathered}

För $\displaystyle (a-b)^2$ :

\begin{gathered}(a-\nobreak b)^2\\=(a-\nobreak b)(a-\nobreak b)\\=a(a-\nobreak b)-\nobreak b(a-\nobreak b)\\=a^2-\nobreak ab-\nobreak ba+\nobreak b^2\\=a^2-\nobreak 2ab+\nobreak b^2\end{gathered}

För ( $\displaystyle a+b$ )( $\displaystyle a-b$ ):

\begin{gathered}(a+b)(a-b)\\=a^2-\nobreak ab+\nobreak ba-\nobreak b^2\\=\nobreak a^2-\nobreak b^2\end{gathered}

Tillämpningar och exempel

Exempel 1

Uppgift: Utveckla $\displaystyle (x+3)^2$ .

Exempel 2

Uppgift: Utveckla $\displaystyle (2x-5)^2$ .

Exempel 3

Uppgift: Förenkla $\displaystyle (x+7)(x-7)$ .

Exempel 4

Uppgift: Beräkna $\displaystyle 101^2$ med en kvadreringsregel.

Exempel 5

Uppgift: Förenkla $\displaystyle (x+2)^2-(x-2)^2$ .

Interaktiv kvadreringsmotor

Testa reglerna med egna värden

Se direkt att vänsterled och högerled matchar för alla tre reglerna.

a = 4

b = 3

x (för exempeluttryck) = 5

\begin{gathered}(a+\nobreak b)^2=\nobreak (4+\nobreak 3)^2\\=\nobreak 49\\a^2+\nobreak 2ab+\nobreak b^2\\=\nobreak 49\end{gathered}

\begin{gathered}(a-\nobreak b)^2=\nobreak (4-\nobreak 3)^2\\=\nobreak 1\\a^2-\nobreak 2ab+\nobreak b^2\\=\nobreak 1\end{gathered}

\begin{gathered}(a+b)(a-b)\\=(4+\nobreak 3)(4-\nobreak 3)\\=\nobreak 7\\a^2-\nobreak b^2=\nobreak 7\end{gathered}

\begin{gathered}\text{Vid }x=\nobreak 5:\\(x+\nobreak 3)^2=\nobreak 64\\(x-\nobreak 2)^2=\nobreak 9\end{gathered}

Vanliga misstag

Glömma mittentermen: $\displaystyle (a+b)^2\neq a^2+b^2$ .
Fel tecken: $\displaystyle (a-b)^2\neq a^2-b^2$ .
Förväxla $\displaystyle (a+b)^2$ med $\displaystyle (a+b)(a-b)$ .
Missa att kvadrera koefficienten: $\displaystyle (2x)^2=4x^2$ .

Vanliga frågor

Tips för att bemästra kvadreringsreglerna

Viktigt att tänka på

Memorera de tre formlerna och öva mönsterigenkänning.
Var extra uppmärksam på tecken i mittentermen.
Använd geometrisk tolkning för att förstå varför 2ab uppstår.
Träna mental aritmetik med tal nära 100.
Kvadrera alltid koefficienten i termer som (2x)².
Använd konjugatregeln vid rationalisering av nämnare med rötter.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här