Gymnasiet
Ma2
Kapitel 1.3.3

Faktorisering av uttryck

Faktorisering gör om algebraiska uttryck till produkter av faktorer. Det är ett centralt verktyg för förenkling, ekvationslösning och analys av funktioner.

På den här sidan

Bakgrund

I Ma2b/Ma2c arbetar vi med faktorisering av uttryck med parenteser. Tekniken är motsatsen till att multiplicera ut parenteser och används i många typer av problem.

Teori

Faktorisering innebär att skriva ett uttryck som en produkt av faktorer. Vanliga metoder:

1. Ta ut största gemensamma faktorn

Exempel: 6x2+12x\displaystyle 6x^2 + 12x

Uppgift: Faktorisera 6x2+12x\displaystyle 6x^2+12x genom att bryta ut största gemensamma faktorn.

2. Faktorisering av kvadratiska uttryck

a) Gruppering (särskilt när a ≠ 1)

Exempel: 2x2+5x+2\displaystyle 2x^2 + 5x + 2

Uppgift: Faktorisera 2x2+5x+2\displaystyle 2x^2+5x+2 genom gruppering.

b) Kvadratkomplettering

Exempel: x2+6x+5\displaystyle x^2 + 6x + 5

Uppgift: Faktorisera x2+6x+5\displaystyle x^2+6x+5 genom kvadratkomplettering och konjugatregeln.

3. Speciella uttryck

Kvadraten av summa/differens, skillnad av kvadrater och summa/differens av kuber.

(a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2a2−b2=(a+b)(a−b)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)\begin{gathered}(a+\nobreak b)^2\\=a^2+2ab+b^2\\(a-b)^2\\=a^2-\nobreak 2ab+\nobreak b^2\\a^2-\nobreak b^2\\=(a+b)(a-b)\\a^3+b^3\\=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\a^3-b^3\\=(a-b)(a^2+ab+b^2)\end{gathered}

Snabba exempel

x2+10x+25=(x+5)2\begin{gathered}x^2+10x+25\\=\nobreak (x+\nobreak 5)^2\end{gathered}x2−16=(x+4)(x−4)\begin{gathered}x^2-\nobreak 16\\=(x+4)(x-4)\end{gathered}A=x2−2x+4x3+8=(x+2)A\begin{gathered}A=\nobreak x^2-\nobreak 2x+\nobreak 4\\x^3+\nobreak 8=\nobreak (x+\nobreak 2)A\end{gathered}

4. Faktorisering genom substitution

Exempel: x4−5x2+4\displaystyle x^4 - 5x^2 + 4

Uppgift: Faktorisera x4−5x2+4\displaystyle x^4-5x^2+4 med substitution.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Ekvationslösning

Uppgift: Lös x2−5x+6=0\displaystyle x^2 - 5x + 6 = 0

Exempel 2: Förenkling av bråkuttryck

Uppgift: Förenkla (x2−4)/(x−2)\displaystyle (x^2 - 4)/(x - 2)

Exempel 3: Polynom av högre grad

Uppgift: Faktorisera x3−2x2−5x+6\displaystyle x^3 - 2x^2 - 5x + 6

Interaktiv faktoriseringsworkshop

Bygg ett uttryck och se faktoriseringen direkt

Vi utgår från modellen (mx+r)(nx+s)\displaystyle (mx+r)(nx+s) och jämför med utvecklad form.

m = 2

n = 1

r = 1

s = 2

x-värde för numerisk kontroll = 3

(mx+r)(nx+s)=(2x+1)(1x+2)\begin{gathered}(mx+r)(nx+s)\\=(2x+1)(1x+2)\end{gathered}ax2+bx+c=2x2+5x+2\begin{gathered}ax^2+bx+c\\=2x^2+\nobreak 5x+\nobreak 2\end{gathered}
Vid x=3:utvecklad=35faktorform=35\begin{gathered}\text{Vid }x=\nobreak 3:\\\text{utvecklad}=\nobreak 35\\\text{faktorform}=\nobreak 35\end{gathered}

Vanliga misstag

  • Att inte först kontrollera gemensam faktor.
  • Fel gruppering i kvadratiska uttryck.
  • Att missa mönster som skillnad av kvadrater.
  • Ofullständig faktorisering när fler steg är möjliga.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra faktorisering

Viktigt att tänka på

  1. Träna mönsterigenkänning systematiskt.
  2. Memorera identiteter och använd dem aktivt.
  3. Lär dig omgruppera uttryck för att se struktur.
  4. Verifiera alltid genom åter-multiplikation.
  5. Utnyttja symmetri i uttryck när den finns.

Frivillig fördjupning

Följande frivilliga exempel går delvis utanför kärninnehållet i Matematik 2 och visar hur faktorisering används i mer avancerad algebra.

1) Högre grad

Faktorisera x4−5x2−36\displaystyle x^4 - 5x^2 - 36

Uppgift: Faktorisera x4−5x2−36\displaystyle x^4-5x^2-36 så långt det går över de reella talen.

2) Partialbråksuppdelning

Dela upp (2x+5\displaystyle 2x + 5)/((x+1\displaystyle x + 1)(x−2\displaystyle x - 2))

Uppgift: Dela upp 2x+5(x+1)(x−2)\displaystyle \frac{2x+5}{(x+1)(x-2)} i partialbråk. Ange vilka x-värden som inte är tillåtna.

3) Över komplexa tal

Faktorisera x2+1\displaystyle x^2 + 1

Uppgift: Faktorisera x2+1\displaystyle x^2+1 över de komplexa talen.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 2. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Aktivera JavaScript för att använda formulär och interaktiva verktyg. Sidans innehåll och länkar kan läsas utan JavaScript.