Kapitel 1.4.1: Förändringsfaktor (fördjupning) | Matematik 1

Bakgrund

Förändringsfaktor är ett kraftfullt verktyg för att beskriva procentuella förändringar i ekonomi, vetenskap och statistik. Här går vi vidare med mer avancerade tillämpningar.

Teori

En förändringsfaktor beskriver hur ett värde förändras relativt sitt ursprungsvärde.

Grundläggande formel för förändringsfaktor

Här är f förändringsfaktorn och p förändringen i procent, skriven som ett tal. Till exempel betyder p = -5 en minskning med 5 %.

f=1+\nobreak \frac{p}{100}

Fördjupade koncept

Sammansatta förändringar:Den totala förändringsfaktorn f är produkten av alla stegens förändringsfaktorer f₁ till fₙ. $f=f_1f_2\cdots f_n$
Geometrisk följd: Upprepning av samma faktor ger geometrisk utveckling. $a_n=a_1\cdot\nobreak r^{n-\nobreak 1}$
Omvänd förändringsfaktor: för att backa en förändring. $f_{\text{omvänd}}=\frac{1}{f}$
Genomsnittlig årlig förändring: $f_{\text{år}}=\sqrt[n]{f_{\text{total}}}$

Frivillig fördjupning

Kontinuerlig förändring: $A=P\cdot\nobreak e^{rt}$
Fördubblingstid och halveringstid: $\begin{gathered} t_{\text{dubb}}\\ =\frac{\ln(2)}{\ln(f)}\ (f>\nobreak 1),\\ t_{\text{halv}}\\ =\frac{\ln(0,5)}{\ln(f)}\ (0<\nobreak f<\nobreak 1) \end{gathered}$

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Sammansatta förändringar

Uppgift: Aktie $\displaystyle +15\%$ , sedan $\displaystyle -8\%$ , sedan $\displaystyle +20\%$ . Total förändring?

Exempel 2: Geometrisk följd

Uppgift: Bakterier ökar $\displaystyle 50\%$ per timme. Start $\displaystyle 1000$ . Hur många efter $\displaystyle 5$ timmar?

Exempel 3: Omvänd förändringsfaktor

Uppgift: Pris har ökat $\displaystyle 25\%$ . Hur stor sänkning krävs för att komma tillbaka?

Exempel 4: Genomsnittlig årlig förändring

Uppgift: Total ökning $\displaystyle 50\%$ på $\displaystyle 5$ år. Genomsnittlig årlig ökning?

Exempel 5: Kontinuerlig förändring

Uppgift: Population växer kontinuerligt $\displaystyle 5\%$ /år. Start $\displaystyle 10 000$ . Hur stor efter $\displaystyle 10$ år?

Vanliga misstag

Addera/subtrahera procentsatser i stället för att multiplicera faktorer.
Tro att en minskning och lika stor ökning i procent tar tillbaka exakt.
Beräkna genomsnittlig årlig förändring som enkel division med antal år.
Förväxla aritmetisk och geometrisk tillväxt.

Testa dig själv

Testa dig själv1/3

En vara ökar med $\displaystyle 10\%$ och sedan minskar med $\displaystyle 10\%$ . Vad blir den totala förändringen?

Vanliga frågor

Tips för att bemästra förändringsfaktor

Öva omvandlingar: procent, decimal och faktor.
Visualisera: använd tabell/graf för värden över tid.
Använd teknik klokt: potenser/rötter i miniräknare eller kalkylblad.
Träna på verkliga scenarion: investeringar, befolkning, kemi.
Förstå begränsningar: konstant faktor är en modell.
Koppla till andra områden: logaritmer, exponentialfunktioner, serier.
Öva bakåträkning: hitta tidigare värden och tidpunkter.
Skapa egna problem: testa egna antaganden och data.

Interaktiv fördjupningsstudio

Sammansatta förändringar

Tre på varandra följande procentsteg.

\begin{gathered} f_1\\ =\nobreak 1,15,\ \allowbreak f_2\\ =\nobreak 0,92,\ \allowbreak f_3\\ =\nobreak 1,2 \end{gathered}

\begin{gathered} f_{\text{total}}\\ =\nobreak 1,15\cdot\nobreak 0,92\cdot\nobreak 1,2\\ =\nobreak 1,2696 \end{gathered}

\begin{gathered} (f_{\text{total}}-1)\\ {}\cdot\nobreak 100\%\\ =\nobreak 26,96\% \end{gathered}

\begin{gathered} \text{slutvärde}\\ =1000\cdot\nobreak 1,2696\\ =\nobreak 1269,6 \end{gathered}

Årsfaktor, kontinuerlig modell och tider

Beräkna CAGR, kontinuerligt slutvärde och fördubbling/halveringstid.

Antal år5

\begin{gathered} f_{\text{år}}\\ =\sqrt[5]{1,5}\\ =\nobreak 1,0845 \end{gathered}

\begin{gathered} (f_{\text{år}}-1)\\ {}\cdot\nobreak 100\%\\ =\nobreak 8,45\% \end{gathered}

\begin{gathered} A\\ =1000\cdot\nobreak e^{0,05\cdot\nobreak 5}\\ =\nobreak 1284,03 \end{gathered}

\begin{gathered} t_{\text{dubb}}\\ =\frac{\ln(2)}{\ln(1,08)}\\ \approx\nobreak 9,01\ \text{år} \end{gathered}

Testa att du förstått

Träna uppgifter i algebra för Matematik 1. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här