Åk 9
Kapitel 4.1
Sannolikhet och statistik

Sannolikhet fördjupning

Fördjupning i sannolikhetslära med fokus på oberoende/beroende händelser, villkorlig sannolikhet, kombinatorik och väntevärde.

På den här sidan

Bakgrund

Sannolikhet hjälper oss förstå och förutsäga slumpmässiga händelser. I åk 9 fördjupar vi oss i mer avancerade situationer och lär oss verktyg för att analysera dem.

Teori

  1. Oberoende och beroende händelser
  2. Villkorlig sannolikhet
  3. Kombinatorik och sannolikhet
  4. Väntevärde

1. Oberoende och beroende händelser

Oberoende händelser påverkar inte varandra. Beroende händelser gör det.

Exempel

  • Singla slant två gånger: oberoende.
  • Dra kort utan återläggning: beroende.

2. Villkorlig sannolikhet (frivillig fördjupning)

Sannolikheten för A givet att B har inträffat skrivs P(A∣B)\displaystyle P(A \mid B).

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Här betyder snittsymbolen att både A och B inträffar. Vi räknar bara bland de fall där B har inträffat, så sannolikheten för B måste vara större än noll.

3. Kombinatorik och sannolikhet

Permutationer räknar ordningar, kombinationer räknar val utan ordning.

C(n,k)=(nk)=n!k!(n−k)!\begin{gathered}C(n,k)=\binom{n}{k}\\=\frac{n!}{k!(n-\nobreak k)!}\end{gathered}

4. Väntevärde (frivillig fördjupning)

Väntevärdet är det genomsnittliga utfallet över många upprepningar. X betecknar vinsten. Varje möjligt vinstbelopp multipliceras med sin sannolikhet och produkterna summeras.

E(X)=∑ixi⋅P(X=xi)\begin{gathered}E(X)\\=\sum_i x_i\cdot\nobreak P(X=\nobreak x_i)\end{gathered}

Miniövning: enkel sannolikhet

Räkna sannolikheten

Ange heltalsantal gynnsamma och möjliga utfall som är lika sannolika. Gynnsamma får inte vara fler än möjliga.

Gynnsamma utfall

Möjliga utfall

Sannolikhet ≈ 0,167\displaystyle 0{,}167 ≈ 16,7%\displaystyle 16{,}7\%.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Oberoende händelser

Uppgift: En rättvis tärning kastas två gånger oberoende av varandra. Vad är sannolikheten för sexa båda gångerna?

Exempel 2: Villkorlig sannolikhet

Uppgift: Av 30 elever spelar 20 fotboll och 10 både fotboll och handboll. En fotbollsspelare väljs slumpmässigt. Hur stor är sannolikheten att eleven också spelar handboll?

Exempel 3: Kombinatorik

Uppgift: Tre av tio personer väljs till en kommitté. Alla har samma roll. Hur många grupper kan väljas?

Exempel 4: Väntevärde

Uppgift: En rättvis tärning ger 10 kr i nettovinst vid 6, 5 kr vid 4 eller 5 och en förlust på 2 kr vid 1, 2 eller 3. Beräkna genomsnittlig nettovinst per kast.

Vanliga misstag

Undvik detta

  • Förväxla oberoende och beroende händelser.
  • Glömma villkorlig sannolikhet.
  • Fel kombinationsformel.
  • Tolka väntevärde som "mest sannolikt".

Testa dig själv

Testa dig själv1/3

Du kastar två mynt. Vad är sannolikheten för två krona?

Vanliga frågor

Tips för att bemästra sannolikhet

Viktigt att tänka på

  • Avgör först om händelser är oberoende eller beroende.
  • Rita träddiagram vid villkorlig sannolikhet.
  • Definiera tydligt vad du räknar.
  • Inkludera alla möjliga utfall i väntevärde.
  • Öva på att översätta vardagliga situationer till matematik.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i sannolikhet för Åk 9. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Aktivera JavaScript för att använda formulär och interaktiva verktyg. Sidans innehåll och länkar kan läsas utan JavaScript.