Åk 9
Kapitel 4.3
Sannolikhet och statistik

Kombinatorik

Kombinatorik handlar om att räkna antalet möjligheter. Här får du principer, formler och tydliga exempel.

På den här sidan

Bakgrund

Kombinatorik används i sannolikhet, statistik och vardagen - till exempel när vi räknar möjliga outfits eller planerar val i flera steg.

Teori

1. Multiplikationsprincipen

Om en händelse kan ske på m\displaystyle m sätt och en annan på n\displaystyle n sätt, kan de tillsammans ske på m×n\displaystyle m \times n sätt.

Exempel

3 tröjor och 2 byxor ger 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot2=6 outfits.

2. Permutationer

Antalet ordningar av n\displaystyle n olika objekt är n!\displaystyle n!.

Fakultet

Fakultet betyder att heltalen multipliceras, till exempel 4!=4⋅3⋅2⋅1=24\displaystyle 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24. Vi definierar även 0!=1\displaystyle 0!=1.

n!=n⋅(n−1)⋯2⋅1\begin{gathered}n!=n\cdot\nobreak (n-1)\\{}\cdots2\cdot\nobreak 1\end{gathered}

3. Kombinationer

Välj två personer av A, B och C. Grupperna är AB, AC och BC: tre val. AB och BA är samma grupp, så vi räknar dem bara en gång.

Antal sätt att välja r\displaystyle r objekt av n\displaystyle n utan ordning:

C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-\nobreak r)!}

Miniövning

Räkna antal outfits

Ange antal tröjor och byxor. Vi räknar antal outfits.

Tröjor

Byxor

Antal outfits: 6.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Lösenord

Uppgift: En kod har fyra siffror. Varje position får innehålla 0-9, siffror får upprepas och koden får börja med 0. Hur många koder finns?

Exempel 2: Laguppställning

Uppgift: Välj elva av femton spelare till ett lag, utan att fördela positioner. Hur många lag finns?

Exempel 3: Handskakningar

Uppgift: Sex personer skakar hand med varandra, en gång per par. Hur många handskakningar blir det?

Vanliga misstag

Undvik detta

  • Förväxla permutationer och kombinationer.
  • Glömma om ordning spelar roll.
  • Använda samma antal val i varje steg när tidigare val har minskat antalet återstående alternativ. Man får multiplicera även vid beroende val, men måste använda rätt antal i varje steg.

Testa dig själv

Testa dig själv1/2

Du har 3 tröjor och 4 byxor. Hur många outfits?

Vanliga frågor

Tips för att bemästra kombinatorik

Viktigt att tänka på

  • Avgör alltid om ordning spelar roll.
  • Använd träddiagram vid komplexa val.
  • Dela upp svåra problem i steg.
  • Gör rimlighetskontroll av svaret.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i sannolikhet för Åk 9. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Aktivera JavaScript för att använda formulär och interaktiva verktyg. Sidans innehåll och länkar kan läsas utan JavaScript.